alter intrinsecus, alter extrinsecus, ex eadem parte zodiaci provenientes.
Sit ad hoc circulus signorum ABGD, circulus equinoctialis EGZH, punctum equinoctii sit G, data puncta a eo distancia equaliter sint L et B. Ducam ergo a polo T duos duorum meridianorum arcus super B et L puncta qui secent equinoctialem equinoctialem] followed by one word crossed out by the scribe: in P in punctis K et T. Dico ergo quod angulus AKBG intrinsecus est equalis angulo TLD extrinseco. Vides enim duos triangulos quorum unus est GKB, alius est GZB. Sunt autem ipsi ad invicem equilateri nam arcus GB est equalis arcui GL ex positione et arcus GK est equalis arcui GZ quia ipsi sunt elevationes arcuum zodiaci GB et GL in spera recta et arcus BK et ZL sunt equales quia sunt declinationes duorum datorum punctorum B et L. Item angulus K est equalis angulo Z nam uterque rectus et anguli incisionis super G punctum sunt equales. Oportet igitur ut equalis sit angulus B angulo GLZ. Sed angulus GLZ est equalis angulo TLD ratione incisionis. Ergo angulus TLD et angulus KBG sunt equales, quod erat probandum.
Secundum vero Geber sic: Proportio sinus lateris GB oppositi recto angulo BKG ad sinum quarte est sicut proportio sinus lateris GK ad sinum arcus anguli GBK ex 13a prioris. Eadem ratione proportio sinus lateris LG ad sinum quarte est sicut proportio sinus lateris ZG ad sinum arcus arcus] corr. ex anguli P anguli ZLG. Sed sinus lateris GB est equalis sinui lateris LG. Hinc sequitur quod proportio sinus lateris GK ad sinum arcus anguli KBG sit ut proportio sinus lateris ZG ad sinum arcus anguli ZLG. Sed arcus GK et ZG sunt equales. Ergo sinus arcus anguli GBK est equalis sinui arcus anguli ZLG. Sed hii anguli non sunt equales duobus rectis quia B angulus intrinsecus est inequalis angulo GLZ. Ergo arcus angulorum ZLG et GBK sunt equales. Ergo et ipsi equales.
〈II.22〉 22. Cum signata fuerint duo puncta zodiaci eque recedentia ab uno punctorum tropicorum duo meridiani super ea transeuntes faciunt duos angulos duobus rectis equales, alterum intrinsecum, alterum extrinsecum, ex eadem parte zodiaci provenientes.
Sit ad hoc zodiacus ABGD sitque punctum Z tropicum, puncta G et B eque recedant a puncto Z et ducantur duo meridiani super E polum et duo puncto G et B. Dico quod angulus ABE extrinsecus est equalis duobus rectis cum angulo EZG nam in triangulo EGB qui est ex magnorum magnorum] corr. ex magnis P circulorum arcubus oportet angulos EBG EBG] preceded by one letter crossed out by the scribe: A P et EGB equales esse per laterum equalitatem que sunt EG et EB, sicut probat Mileus. Cum ergo angulus EBG cum angulo ABE sit equalis duobus rectis necesse est angulum ABE cum angulo EZG esse equales duobus rectis et hoc erat probandum. Geber sic probat hanc 21am pro constanti accipiens quod angulus in puncto tropico factus ab arcu super punctum illud a polo demissus rectus sit. Procedit ergo sic: Proportio sinus lateris EG ad sinum lateris EB est sicut proportio sinus arcus anguli EBG ad sinum arcus anguli EGB. Sed sinus laterum EG et EB sunt equales, ergo etiam sinus arcuum, sed anguli ZBE et ZGE. Sequitur latus EZ ex undecima prioris cum rectus sit uterque angulus super Z factus. Latus vero EZ aut est maius aut est minus quarta. Ergo anguli ZBE et ZGE simul sumpti sunt maiores aut minores duobus rectis. Ergo cum sinus arcuum eorum si〈n〉t equales etiam ipsi arcus sunt equales, ergo etiam ipsi anguli equales. Sed angulus ABE cum angulo GBE valet duos rectos. Ergo idem angulus ABE cum angulo BGE valet duos rectos, quod erat probandum.
〈II.23〉 23. Meridianum super punctum solsticiale curvatum angulos rectos ibi facere necesse est.
Sit enim medietas zodiaci ABG terminata in punctis equinoctialis que sint A et G et sit B punctum tropicum, polus proximus Z. Demittantur ergo a polo Z super puncta A et B et G arcus meridianorum et apparebunt duo trianguli ABZ et BGZ et erit facile probare per laterum continentium et oppositorum equalitatem quod equales sint anguli ABZ et GBZ. Ergo uterque rectus