vero est KZ quam HZ ex septima tercii Euclidis. Ergo maior est angulus QKZ angulo PHZ. Huius argumenti necessitas infra fiet manifesta. Oportet igitur ut anguli QKZ et KZD sunt maiores angulis PHZ et HLZ. Sed angulus KZB est equalis angulis KDZ et ZKD cum sit ad eos extrinsecus et eis oppositus. Similiter angulus HZT est equalis angulis ZHL et LZH per extrinsecitatem. Ergo maior est angulus KZB angulo HZT, quod fuit probandum. Quod autem necessarium sit hoc in triangulis HZP et KZQ habentibus P et Q angulos rectos et equales. Maior enim est linea ZQ quam linea ZP, minor autem est linea KZ quam linea HZ. Ergo maior est angulus QKZ quam angulus PHZ.

Ita videatur: Sit linea XU ut linea ZP et linea UC tamquam linea PH et sit angulus U rectus sicut est angulus P. Subtendatur ei linea XC. Erit igitur triangulus XUC equalis triangulo HZP et erit angulus PHZ equalis angulo UCX. Protraham autem lineam XU donec US sit equalis linee ZQ et de linea UC abscindam lineam UM equalem linee QK. Quia enim maior est linea HZ rectum respiciens quam linea ZK recto subtensa necesse est ut quadrata linearum HP et ZP sint maiora quadratis linearum QK et ZQ. Sed maior est linea ZQ quam linea ZP. Unde necesse est lineam PH maiorem esse linea QK. Abscindam ergo minorem de maiore et traham lineam SM eritque triangulus SUM equalis triangulo ZQK et erit angulus UMS equalis angulo QKZ. Sed angulus UMS est maior angulo C quia est ad eum extrinsecus et ei oppositus. Ex hoc infer quod probandum est.

〈III.4〉 4. Si posuerimus centrum stelle moveri in orbe revolutionis et huius orbis centrum in ecentrico, eveniet nihilominus ut sit in motu apparente diversitas et necesse est angulos in centro mundi factos et cadentes in arcus equales orbis revolutionis esse inequales et eum maiorem qui cadit in arcum longitudini longiori propiorem.

Posterius dictum prius ostendam. Sit igitur medietas orbis revoluti ABG in circuitu centri E, centrum spere mundi sit Z. Abscindam autem in orbe revolutionis in M medietate data duos arcus equales HT et BK quorum BK sit propior longitudini longiori et ducam inter centrum Z et extremitates horum arcuum lineas ZH ZH] corr. ex ZK P ZT ZB et ZK. Dico quod angulus HZT maior est angulo BZK. Ad hoc ducam lineas HP que secet lineam TZ in puncto L et BQ secantem lineam KZ in puncto M. Sit quoque ZP perpendicularis super lineam HP et ZQ perpendicularis super lineam BQ. Sic ergo angulus HLT est equalis angulo BMK ratione equalium arcuum in quos cadunt. Ergo etiam equales sunt anguli ZLP et ZMQ et anguli P et Q sunt recti. Ergo que est proportio ZM linee ad lineam ZL eadem est proportio linee ZQ ad lineam ZP. Sed maior est linea ZM quam linea ZL ex tercii Euclidis. Ergo maior est perpendicularis ZQ perpendiculari ZP. Sed linea HZ maior est linea BZ ex tercii Euclidis. Ergo ut ostensum est in fine proxime probationis maior est angulus ZBQ angulo ZHP. Sed angulus HLT est equalis angulis HZL et LHZ cum sit ad eos extrinsecus utrique oppositus. Eadem ratione angulus BMK est equalis angulis BZM et MBZ. Ergo hii duo illis duobus sunt equales. Ex hoc sequitur angulum HZT esse maiorem angulo BZK, quod fuit probandum. Hoc est igitur quod ponit Geber et omittit Ptholomeus. Ponit vero tam Geber quam Ptholomeus quod nunc dicam in probatione prioris partis huius.

Sit circulus zodiaco concentricus ABGD in circuitu centri E. Super hunc circulum moveatur A centrum epicicli HTK uniformiter. Centrum vero stelle moveatur uniformiter in circulo HTK. Dico ergo quod possibile ut sit sit] sup. lin. P motus apparens stelle inuniformis in concentrico. Ponam enim centrum stelle esse in T longitudine longiori et ire versus H centro epicicli eunte versus B. Movetur igitur A centrum super equales angulos factos in centro E et fit motus apparens super