Sed anguli DHB et DEZ sunt equales. Ergo anguli DHB et KEZ sunt dupli ad angulum DHB sive ad angulum DEZ. Habes ergo propositum.

〈II.32〉 32. Si vero punctum portionis orientalis orbi signorum fuerit meridianum et punctum occidentalis portionis septentrionale a puncto capitum anguli qui ad dictum punctum fuerint ex arcubus a cenith venientibus super datum punctum, addunt duos rectos super duplum anguli facti super idem punctum a meridiano. Duplum vero huius anguli excedit dictos angulos duobus rectis, si punctum orientalis portionis fuerit septentrionale a cenith capitum et alterum meridianum.

Facto ex parte meridiei a puncto orientalis portionis, id est arcus AE declinantis cum E dato puncto ad orientem et B puncto posito ad septentrionem et interposito G cenith, dico quod anguli LHB et GEZ addunt super duplum anguli DEZ sive anguli DHB duos rectos. Probabis enim ut hactenus angulos DHG et DEG equales esse. Ergo etiam equales sunt DHL et DEK. Sed etiam equales sunt anguli DHB et DEZ. Ergo angulus LHB est equalis angulo DEK et angulo DEZ. Ergo addito communiter angulo GEZ duo anguli LHB et GEZ valent angulum DEZ et preterea angulos GEZ et DEK. Sed in GEZ et DEK angulis sunt DEZ angulus et duo anguli GEZ et ZEK valentque hii duo duos rectos. Habes itaque primam partem. Fiat modo G puncto capitum interposito B punctum occidentalis portionis meridianum et A punctum septentrionale. Dico quod duplum anguli DEZ addit duos rectos super angulos KEZ et GHB. Factis enim E et H polis secundum spacia EG et HG arcuum scribam circulos MG et NG quos oportet esse equales. Probabo igitur ita ut prius duos angulos DHG et DEG esse equales. Ergo anguli DHG et DEK equales sunt duobus rectis. Ergo DHB et DEZ anguli excedunt angulos GHB et KEZ duobus rectis. Sed anguli DHB et KEZ sunt equales quia fiunt a meridianis super idem punctum. Ergo duplum anguli DEZ addit super GHB et KEZ angulos duos rectos, quod volui.

〈II.33〉 33. Si fuerit datum zodiaci punctum notum in circulo meridiano meridiano] id est emisperium i. m. P celum mediante vel in orizontis linea, notum esse oportet tam arcum magni circuli inter ipsum et et] notum est [s] cen〈ith〉 cum est polus ori〈zontis〉 noti et ori〈zon〉 notus est cum est el〈eva〉tio poli nota i. m. P cenith capitum notum curvatum quam angulum in eodem puncto ab eodem arcu et zodiaco contentum.

Sit punctum capitum A quod necesse est esse in meridiano superius emisperium medietate quod sit ABGD, sit zodiacus ZEH, orizon notus BED, notum zodiaci punctum Z datum in meridiano. Dico quod notus est arcus AZ cadens inter cenith et Z datum punctum zodiaci. Notus enim est arcus ab A veniens ad equinoctialem cum sit A punctum notum. Hoc est noti orizontis polus. Sed notam est declinatio Z puncti noti ex tercia huius. Ergo notus est arcus AZ. Dico etiam notum esse angulum AZE. Ipse enim in hoc situ est idem ei quem facit cum zodiaco meridianus. Huius autem 14^a notificat angulos quos facit meridianus cum zodiaco aput punctum zodiaci note declinationis sive noti discessus ab equinoctialis puncto. Sit modo datum punctum zodiaci E in orizonte BED positum. Dico notum esse arcum AE nec mirum cum sit quarta circuli. Est enim summitas capitum polus orizontis. Dico etiam notum esse angulum AEZ. Notus enim est angulus AEB quia rectus. Notus est etiam angulus BEZ per 28^am. Ergo notus est angulus AEZ, quod probandum erat.

Et manifestum est, ait Geber, quod cum nos sciverimus quantitates arcuum et angulorum qui eveniunt ab arcu transeunte per cenith capitum et medietate orbis signorum que est ab inicio Cancri usque ad inicium Capricorni in declinatione posita, id est data et nota, que sunt sciemus ex eis per illud cuius declinatio precessit quantitates arcuum et angulorum qui eveniunt illis signis post