rectangulorum duum ex diametro dimidium et trientem, quae portiones convenientes, atque item supra portiones sunt, fit ut dimidiatio tetragonum constituat triens vero sexangulum. Supra portionum, autem si constituatur a rectangulo quadrato hemiolion, hoc est sesquiplum et epitriton, hoc est sesquitertium, illud discernit quadratam a sexangula, hoc triquetram figuram a quadrata. Quarum quidem figurarum triquetra et sexangula convenientes putantur, quia consimilia loca signorum complectuntur, hoc est omnia aut masculina aut foeminina. Inconvenientes vero figurae habentur quadrata et dimetiens, quod illae per dissimilia loca constituantur.

〈Commentarius〉

Tria facit in hoc textu Ptolemaeus. Primum colligit ex dictis cur solum hae figurae sint necessariae, scilicet trigona, exagona, quadrata, nam per integra signa constituuntur, et partes totius circuli integras. Connexionem vero, ut infra declarat, per proportiones primas et musica etiam ratione constantes, sed quia de oppositione nihil dixerat, fieri eam inquit per rectam lineam, supple quae per centrum circuli seu zodiaci transit. Nam et alii omnes aspectus per rectas fieri lineas intelliguntur, sed nulla illarum per centrum transit praeterquam oppositionis linea. Ideoque ex hoc declaratur oppositionis aspectum esse omnibus aliis potentiorem. Nam lineae quae per centrum transeunt sunt omnium validissimae ut in cavis etiam speculis apparet. Cum igitur quinque modis erraticae inter se misceantur, vel etiam cum fixis, omnium commixtionum validissima est coniunctio post oppositio, inde quadratam et trigonum ferme aequalia ultima et debilissima est exagonum. Solent autem his notis brevitatis causa de scribi. Coniunctio ☌. Oppositio ☍. Quadratum □. Trigonum △. Exagonum seu sextilis ⚹.

Caeterum si maximas) Haec est secunda pars in qua adducit mathematicam rationem istarum radiationum duplicem, geometricam atque musicam. Geometrica est quoniam si fiat circulus et sumatur quadratum sive dimetientis quod sit CD medietas eius quadrati, quae est superficies ABDG, aequalis est quadrato AEBF, utraque enim est medietas quadrati CD ex demonstratis in penultima primi elementorum, igitur AE latus seu radius quadrati est potentia dimidium AB dimetientis quod est primum. Rursus si accipiamus tertiam partem quadrati AB, erit proportio AEBF ad illam veluti arcus quadrati ad arcum exagoni, id est, sexquialtera. Et si fiat comparatio quadrati ad trigonum et exagonum in superficiebus, erit trigoni arcus ad arcum quadrati epitrita, arcus autem quadrati ad arcum exagoni hemiolia. Et ut uno verbo dicam traduxit quod erat ignotum in arcubus ad quadratum dimetientis divisum ut vides. Ponatur igitur AB sex et loco arcus oppositionis quadratum AB, quod sit CL, erit ABDG pro arcu quadrati, quia est aequale quadrato AEBF decem octo, et HGDK tertia pars quadrati CD, id est duode-