qui sit circulus e h k. Propterea ergo quod angulus b est rectus, et arcus b h quarta circuli, erit punctum h polus circuli b g, ergo angulus e est rectus, et propterea quod arcus e g est quarta circuli, erit punctum g polus circuli e h k, ergo arcus g k est quarta circuli, latus igitur a g est maius quarta circuli. Et quia duo anguli a et g, imitantur duo latera a b et b g, quae subtenduntur eis, oportet etiam ut latus a g suppositum recto imitetur duos angulos a et g, scilicet quod si unus eorum fuerit rectus, sit latus a g quarta circuli. Et si fuerit unusquisque eorum minor recto, aut maior recto, sit latus a g minus quarta circuli. Et si fuerit unus eorum minor recto, et secundus maior recto, sit latus a g maius quarta circuli. Ponam autem latus a g subtensum recto quartam circuli. Dico ergo quod unum duorum laterum a b, b g, est quarta circuli, quod sic probatur. Nam si non est unum duorum laterum a b, b g, quarta circuli, erit unumquodque eorum aut maius quarta circuli aut minus, aut unum eorum maius quarta circuli et secundum minus, sequitur ergo ex his quae nuper declarauimus, quod latus a g aut est maius quarta circuli aut minus. Nos autem iam posuimus ipsum quartam circuli, hoc contrarium est et impossibile. Vnum igitur duorum laterum a b, b g, est quarta circuli. Et si fuerit latus a g suppositum recto minus quarta circuli, tunc unum quodque duorum laterum a b, b g, aut erit maius quarta circuli aut minus, cuius haec est demonstratio. Nam si non sunt ita, tunc erit unum eorum maius, et secundum minus, aut erit unum eorum quarta circuli. Quod si unum eorum est maius quarta circuli, et secundum minus, sequitur ex eis quae declarauimus, quod latus a g est maius quarta circuli, ipsum enim iam positum fuit minus, et hoc est impossibile. Et similiter etiam si unum eorum est quarta circuli, sequitur quod sit latus a g quarta circuli. Sed declaratum est contrarium, quod sit unum eorum maius quarta circuli, et secundum minus, aut quod sit unum eorum quarta circuli. Erunt ergo unius speciei in magnitudine aut paruitate. et si laqus a g suppositum recto est maius quarta circuli, tunc duo latera continentia rectum sunt diuersa, scilicet unum eorum est maius quarta circuli, secundum minus, quod sic probatur. Quoniam si non est ita, tunc erunt unius speciei in magnitudine aut paruitate. Aut erit unum eorum quarta circuli, et si fuerit unumquodque eorum maius quarta circuli, aut minus, erit latus a g minus quarta circuli. Nos uer iam posuimus ipsum maius, et hoc est impossibile. erunt ergo ambo diuersa. Et similiter si fuerit unum eorum quarta circuli, sequitur quod sit latus a g quarta circuli. ipsum autem est maius, et hoc est contrarium. Contrarium igitur est quod sint speciei unius in paruitate aut magnitudine, aut quod sit unum eorum quarta circuli, unum igitur eorum est maius, et secundum minus. Et quoniam unusquisque duorum angulorum qui sunt super illud latus subtensum recto, imitatur latus sibi subtensum. Oportet ut sit indicium duorum angulorum qui sunt super illud latus subtensum recto, cum illo latere indicium duorum laterum subtensorum ipsorum eis ambobus, scilicet quia si fuerint subtensum recto quarta circuli, erit unus duorum reliquorum angulorum rectus. Et si fuerit minus quarta circuli, erit unusquisque eorum aut maior recto aut minor, et si fuerit maius quarta circuli, erit unus eorum maior recto, et secundus minor, et illud est quod uoluimus declarare. Istud est ergo quo scitur unumquodque laterum trianguli orthogonij an sit quarta circuli, aut maius aut minus, et similiter unusquisque duorum reliquorum angulorum eius, an sit rectus, aut maior aut minor. Qualiter uero sciatur quantitas cuiusque laterum eius et angulorum ad inuicem, praemittam ad illud figuram magnae excusationis et iuuamenti in hac intentione, et alijs ab ea et est haec.

⟨I.12⟩ ⟨PROPOSITIO⟩ XII.

CVm sint duo circuli magni super sphaeram, et non transit unus eorum per polum alterius, et signantur super circumferentiam unius eorum duo puncta, aut super circumferentiam uniuscuiusque ipsorum punctum, qualitercunque cadant, et producuntur ex unoquoque illorum duorum punctorum duo arcus ad circulum secundum, quorum unusquisque continuat cum arcu circuli ad quem ipse producitur angulum rectum, tunc proportio sinus arcus, quae est inter unum duorum punctorum, et inter unum duorum punctorum sectionis duorum circulorum ad sinum arcus producti ex illo puncto ad circulum secundum, est sicut proportio sinus arcus, quae est inter punctum secundum et inter unum duorum punctorum sectionis ad sinum arcus producti ex illo puncto ad circulum secundum. Sint ergo duo circuli x g d b, a e z b, magni super sphaeram, et signemus super circumferentiam circuli a g d b, qui est unus eorum, in primis duo puncta g d, et faciamus transire super utraque ea, et super polum