arcus h t ad sinum perpendicularem a d, et similiter sunt iterum super duos circulos a b et d l sese secantes supra punctum z, signata duo puncta e et d, et productae sunt ab eis utrisque duae perpendiculares e p et d a. Quare erit proportio sinus arcus z e ad sinum perpendicularem e p, sicut proportio sinus arcus z e ad sinum perpendicularem a d, proportio ergo sinus arcus h t ad sinum arcus t q est maior proportione sinus arcus e z ad sinum arcus p e. Sed arcus t h est aequalis arcui e z, ergo arcus e p est maior arcu t q. Ergo complementum arcus e p est minus complemento arcus p t q, ergo proportio sinus complementi arcus e z ad sinum complementi arcus e p, est maior proportione sinus complementi arcus h t ad sinum finum ed. complementi arcus t q, ergo proportio sinus complementi arcus z p ad sinum quartae circuli est maior proportione sinus complementi arcus h q ad sinum quartae circuli, ergo complementum arcus z p est maius complemento arcus h q, ergo arcus h q est maior arcu z p, et propterea quod est arcus d t maior arcu d q, oportet ut sit arcus q m maior arcu t n, ergo additio arcus h m super arcum t n est maior arcu z p, et propterea iterum quod arcus d e est maior arcu d p, est arcus p l maior arcu e k, ergo additio arcus p l super arcum z l, qui est arcus z p, est maior additione arcus e k super arcum z l, et iam fuit additio arcus h m super arcum t n maior arcu z p, ergo additio arcus h m super arcum t n est multo maior additione arcus e k super arcum z l, completa est eius declaratio.

⟨I.18⟩ ⟨PROPOSITIO⟩ XVIII.

ET de eis iterum super quae demonstrationem non attulit est, quod indiguit in tractatu tertio sui libri in diuersitate dierum cum noctibus suis, ut sciret punctum orbis signorum apud quod est plurimum diuersitas eius, quae est inter gradum orbis signorum, et inter eleuationem eius in orbe recto, et dixit illud absolute, et non attulit illud super demonstrationem, sed inuentio illius puncti est secundum quod narro. Sint duo circuli a b et b g magni super sphaeram, qui se secant super punctum b, et separemus ex ambobus duos arcus a b g b, et sit unusquisque eorum quarta circuli, et faciamus transire super duo puncta g a arcum circuli magni, qui sit arcus d a g, et sit quarta circuli. Erit ergo propter illud punctum d polus circuli b g, et producamus lineam mediam in proportione inter sinum arcus d g, qui est medietas diametri circuli d g, et inter sinum arcus d a, qui est complementum partis declinationis circuli a b a circulo b g, et sit sinus arcus d n, et ponamus punctum t polum, et mensuremus longitudinem d n, et faciamus circulum n e, qui secet circulum b g super punctum l, et signemus super arcum b a duo puncta, a duobus lateribus puncti e, qui sint puncta duo h z, qualitercunque cadant, et faciamus transire super ea duos arcus d h t, d z k. Dico ergo, superfluitas arcus e b super arcum b l maior est superfluitate arcus z b super arcum k b, et quod superfluitas arcus l g super arcum a e est maior superfluitate arcus g t super arcum a h, cuius demonstratio est haec. Protraham ex puncto e perpendicularem super arcum d z, qui sit arcus e m, propterea ergo quod duo circuli d k et d l iam secuerunt se supra punctum d, et signata sunt ab illis duobus duae perpendiculares super unum eorum, scilicet duo puncta e l, et protractae sunt ab illis duobus duae perpendiculares e m et l k, erit proportio sinus arcus l k ad sinum arcus e m, sicut proportio sinus arcus l d ad sinum arcus d e. Verum proportio sinus arcus l d ad sinum arcus d e est sicut proportio sinus arcus d e ad sinum arcus d a. Et proportio sinus arcus d z ad sinum arcus d a est maior proportione sinus arcus d e ad sinum arcus d a, ergo proportio sinus arcus z d ad sinum arcus d a est maior proportione sinus arcus l k ad sinum arcus e m, et propterea iterum quod duo circuli a b et d k iam secuerunt se supra punctum z, et signata sunt super eos duo puncta e et d, et productae sunt ab eis duae perpendiculares e m et d a, erit proportio sinus arcus z d ad sinum arcus d a sicut proportio sinus arcus e z ad sinum arcus e m, sed iam fuit proportio sinus arcus z d ad sinum arcus d a maior proportione sinus arcus l k ad sinum arcus e m, ergo proportio sinus arcus z d e ad sinum arcus e m maior est proportione sinus arcus l k ad sinum arcus e m, ergo sinus arcus z e est maior sinu arcus l k, et unusquisque amborum est minor quarta circuli, ergo arcus z e est maior arcu k l, ergo superfluitas arcus e b super arcum b l est maior superfluitate arcus b z super arcum b k. Et similiter si protraxerimus a puncto e iterum perpendicularem super arcum d e, quae sit perpendicularis e n, erunt duo circuli l d et d t