se secantes supra punctum d, et iam signata sunt super unum eorum duo puncta l e, et producuntur ab eis duae partes perpendiculares l t et e n, ergo proportio sinus arcus l t ad sinum arcus e n est sicut proportio sinus arcus l d ad sinum arcus d e. Verum proportio sinus arcus l d ad sinum arcus d e iam posita fuit sicut proportio sinus arcus d e ad sinum arcus d a, et proportio sinus arcus d e ad sinum arcus d a est maior proportione sinus arcus h d ad sinum arcus d a. Proportio ergo sinus arcus l t ad sinum arcus e n est maior proportione sinus arcus h d ad sinum arcus a d, et propterea iterum quod duo circuli a b et d t se secant supra punctum h, et iam signata sunt super ambos duo puncta e et d, et protrahuntur ex eis duae perpendiculares e n et a d, ergo proportio sinus arcus e h ad sinum arcus e n est sicut proportio sinus arcus h d ad sinum arcus a d, proportio ergo sinus arcus l t ad sinum arcus e n est maior proportione sinus arcus e h ad sinum arcus e n, ergo sinus arcus l t est maior sinu arcus e h, et unusquisque amborum est minor quarta circuli, ergo arcus l t est maior arcu e h, ergo superfluitas arcus l g supra arcum e a est maior superfluitate arcus t g super arcum a h. Et similiter est dispositio omnium duorum circulorum signatorum super arcum e b et e a, et illud est quod demonstrare uoluimus. Haec est ergo summa, quam necesse est praemittere eorum quibus consstit excusatio a figura sectore, et a libro Theodosij, et a libro Milei, et quibus declarantur, quae ipse dixit in libro suo sine demonstratione. Quare est liber iste noster stans per se, non egens alio sicut praemisimus.

⟨I.19⟩ ⟨PROPOSITIO⟩ XIX.

ET incipiamus nunc dicere ea quae necessaria sunt in extractione quantitate cordarum cadentium in circulo propter arcus suos et quantitatem arcuum propter cordas suas, et est, cum fuerit semicirculus a b g, et diameter eius a g, cuius centrum sit punctum d, et protrahatur ex eo super diametrum perpendicularis, quae sit linea b d, et diuiserimus lineam a d in duo media super punctum e, et continuauerimus lineam b e, et separauerimus ex linea e g, quod sit aequale lineae b e, et sit linea e z, et produxerimus lineam b z, tunc dico, quod linea d z est aequalis lateri decagoni cadentis in circulo a b g, et quod b z est aequalis lateri pentagoni cadentis in eo. Quod sic probat, propterea quod linea a d iam est diuisa in duo media super punctum e, et addita est in longitudine eius linea d z, fuerit multiplicatio lineae a z in z d, et quadratum e d aequalia quadrato e z. Sed quadratum e z est aequale quadrato e b, et quadratum e b est aequale quadrato d b, et quadrato d e, ergo multiplicatio lineae a z in z d, et quadratum e d sunt aequalia quadrato b d et quadrato e d. Proiecto ergo quadrato e d communi, remanet multiplicatio lineae a z in z d aequalis quadrato b d, linea uero b d est aequalis lineae a d, ergo multiplicatio lineae a z in z d, est aequalis quadrato a d, ergo linea a z iam diuisa est secundum proportionem habentem medium et duo extrema, et latus eius longius est linea a d, et est latus h exagoni cadentis in circulo a b g, ergo linea d z est latus decagoni cadentis in eo, et quadratum lineae z b est aequale duobus quadratis duarum linearum b d d z. Sed linea b d est latus exagoni, et linea z d est latus decagoni cadentium in circulo a b g, ergo linea b z est aequalis lateri pentagoni cadentis in eo, et illud est cuius uoluimus declarationem.

⟨I.20⟩ ⟨PROPOSITIO⟩ XX.

ET propterea quod latus exagoni cadentis in circulo est medietas diametri circuli, est latus exagoni notum etiam, et propterea quod quadratum diametri est aequale duplo lateris quadrati cadentis in eo, est iterum latus quadrati notum, et quoniam quadratum lateris trianguli cadentis in eo est triangulum quadrati medietais diametri eius, est iterum latus trianguli notum. Qualiter autem extrahatur quantitas cordae cadentis in circulo, scilicet proportio eius ad diametrum ipsius, propter arcum suum cum est notus, aut arcus ex corda sua cum est corda nota ex quantitate, cum qua diameter est nota figura, magnae excusationis consurgit ad illud in hac intentione, et est, cum in circulo est figura quadrilatera qualitercunque cadat. Sitque figura a b g d, et protrahantur duae diametri eius duabus lineis a g b d, tunc aggregatum ex multiplicatione laterum oppositorum eius ad inuicem, scilicet aggregatum ex multiplicatione a d in b g, et multiplicatione a b in g d et aequale multiplica