circuli a e, duos arcus duorum circulorum maiorum, qui sunt arcus e g et z d, continentes cum arcu circuli a e z, duos angulos rectos. Dico ergo, quod proportio sinus arcus a g, ad sinum arcus g e est sicut proportio sinus a d ad sinum d z. Quod sic probatur. Producam enim ex duobus punctis g d, duas perpendiculares super superficiem circuli a e b, quae sint perpendiculares g k et d c, et protraham ex eis etiam duas perpendiculares super diametrum a b in superficie circuli a g d, quae sint perpendiculares g l et d m, et producam duas lineas k l et c m, propterea igitur quod duae perpendiculares g k et d c sunt aequedistantes, et similiter duae perpendiculares g l et d m aequedistantes, erunt et duo anguli l g k, et m d c aequales, et unusquisque duorum angulorum k et c est rectus, sunt ergo trianguli l g k et d m c similes. Ergo proportio lateris g l ad latus g k est sicut proportio lateris d m ad latus d c, ac latus g l est sinus arcus a g, et latus g k est sinus arcus g e, et similiter latus d m est sinus arcus a d, et latus d c est sinus arcus d z. Ergo proportio sinus arcus a g ad sinum arcus g e est sicut proportio sinus arcus a d ad sinum arcus d z. Completa est eius declaratio. Et quia sinus arcus a g est sinus arcus g b, et similiter sinus arcus a d est sinus arcus d b, oportet ut sit proportio sinus arcus b g ad sinum arcus g e, sicut proportio sinus arcus b d ad sinum arcus d z. Et ut sit etiam proportio sinus arcus a g ad sinum arcus g e sicut proportio sinus arcus b d ad sinum arcus d z. Et sit punctum g signatum alicubi in circumferentia circuli a g d, et signetur etiam alicubi in circumferentia circuli a e z punctum n, et protrahatur ad circulum a g d ex eo arcus circuli magni continens cum eo angulum rectum, qui sit arcus n p. Dico ergo quod proportio sinus arcus a g est ad sinum arcus g e, est sicut proportio sinus arcus a n ad sinum arcus n p, quod sic probatur. Faciam transire super polos duorum circulorum a g d et a e z, circulum magnum, qui sit y h q, ergo comprehendit cum duobus circulis a g d et a e z angulos rectos, et diuidit arcus separatos duorum circulorum in duo media. Erunt ergo propter hoc arcus a q, a s, et b q, et b s, et a h, et a y, et b h, et b y octo, omnes aequales, quoniam unusquisque eorum est quarta circuli. Et propter hoc etiam quod circuli magni secant se super medietates suas, cuius declaratio haec est, propinquae acceptionis, erunt arcus y h, et s q aequales, ergo proportio sinus cuiusque arcuum octo, ad sinum cuiusque duorum arcuum y h et s q, est sicut proportio una. Et propterea quod duo puncta n h sunt signata super circulum a n h, et ex eis productae sunt duae perpendiculares n p et y h, erit ex eis, quod declarauimus, proportio sinus arcus a n ad sinum arcus n p, sicut proportio linus arcus a h ad sinum arcus h y. Et similiter erit iterum proportio sinus arcus a g ad sinum arcus g e, sicut proportio sinus arcus a q, ad sinum arcus q s. At uero proportio sinus arcus a h, ad sinum h y, est sicut proportio sinus a q ad sinum q s. ergo proportio finus arcu a g ad sinum g e, est sicut proportio sinus a n, ad sinum n p, et illud uoluimus declarare.

⟨I.13⟩ ⟨PROPOSITIO⟩ XIII.

ET postquam ista iam exposita sunt, dico quod omnis trianguli ex arcubus circulorum magnorum proportio sinus cuiusque laterum ad sinum arcus anguli, cui subtensum est, est proportio una, cuius haec est demonstratio. Non enim est possibile, quin unusquisque angulorum trianguli sit rectus, aut sint duo angulorum eius recti, aut sit unus angulus ex eis rectus, aut non sit in eo angulus unus rectus. Quod si fuerint anguli eius tres recti, erit arcus cuiusque eorum quarta circuli, et erit etiam unumquodque laterum eius quarta circuli, quapropter erit proportio sinus cuiusque laterum eius, ad sinum arcus anguli cui subtensum est, proportio una, et est proportio aequalis. Et si sunt duo angulorum eius recti, caput reliqui anguli est polus circuli lateris sibi subtensi. quare illud latus est arcus anguli cui subtensum est. Ergo erit proportio sinus eius ad sinum arcus anguli cui ipsum subtensum est, proportio aequalis. Et similiter erit proportio sinus cuiusque duorum laterum reliquorum, ad sinum arcus anguli, cui subtensum est, proportio aequalis, quoniam unumquodque eorum est quarta circuli, et angulus cui subtensum est, est rectus. Et cum in triangulo est unus angulus rectus, declaratur illud in eo, secundum quod narro. Sint trianguli a b g, angulus b rectus. Dico ergo quod proportio sinus lateris a b ad sinum arcus anguli g, cui ipse subtendit, est sicut proportio sinus lateris b g ad sinum arcus anguli a, cui ipsum subtenditur. et sicut proportio sinus lateris a g ad sinum arcus anguli b, cui subtensum est. Quod sic demonstratur. Ponam unumquenque duorum arcuum a d et g e, quartam circuli, et similiter ponam