uerum arcus e b est aequalis arcui e g, ergo sinus arcus anguli e b g est aequalis sinui arcus anguli e g b. Et si nos imaginati fuerimus arcum circuli magni transeuntem per duo puncta e z, erit unusquisque duorum angulorum z rectus, erit ergo propter illud unusquisque duorum angulorum e b z, e g z sequens arcum e z, ergo hi duo anguli sunt sequentes se, scilicet, si fuerit unus eorum rectus aut maior aut minor, erit alter aequalis ei, quamobrem oportet ut sint arcus amborum aequales, ergo duo anguli sunt aequales, erunt ergo propter illud duo anguli e b g et e g d quaesiti aequales duobus angulis rectis, et illud est, cuius uoluimus declarationem. Et quia iam patefactum est nobis illud, tunc nos contenti erimus cognitione angulorum euenientium in partibus unius quatuor quartarum orbis signorum, et excusabit nos illud a cognitione angulorum in tribus quartis residuis. Inquiramus ergo nunc quantitates angulorum, qui proueniunt apud partes quartae unius. Dicamus ergo, quod angulus qui prouenit apud punctum tropici, est rectus, et illud manifestum est, et quoniam angulus, qui sit apud punctum aequalitatis, est superfluitas recti super angulum sectionis, qui est inter circulum signorum et circulum aequatoris diei, et est ille, cuius arcus est finis declinationis, tunc est angulus quaesitus notus. Ponamus ergo de partibus quartae quamcunque partem uoluerimus, et inquiramus quantitatem anguli qui prouenit apud eam, ponamus ergo orbem signorum circulum a e g, et circulum meridiei circulum a b g, et circulum aequatoris diei circulum b e d, et sit punctum e punctum autumnale, et sit punctum a de orbe signorum notum, et uolumus scire quantitatem anguli e a b, propterea ergo quod triangulus a e b est ex arcubus circulorum magnorum, erit proportio sinus lateris a e eius ad sinum lateris e b, sicut proportio sinus anguli a b e ad sinum arcus anguli e a b, uerum unumquodque duorum laterum a e, e b est notum, et angulus a b e est rectus, ergo oportet, ut sit sinus arcus anguli e a b notus, et ipse est sequens arcum e b ipsi subtensum notum, ergo est notus, et illud est, cuius uoluimus declarationem.

⟨II.9⟩ De angulis qui proueniunt inter circulum orbis signorum et circulum horizontis.

DEclarabo ergo prius, quod punctum orbis signorum, cuius longitudo ab uno duorum punctorum duarum aequalitatum est longitudo una, facit angulos, qui proueniunt ei apud horizontem, aequales. Sit itaque circulus horizontis circulus d e b, et circulus meridiei circulus a b g, et circulus aequatoris diei circulus a e g, et sit unumquodque duorum punctorum k z punctum autumnale, et duae portiones orbis signorum aequales sicut duo arcus k l et z h. Dico ergo, quod duo anguli e l k et e h z sunt aequales, cuius demonstratio haec est. Triangulus k l e est ex arcubus circulorum magnorum, ergo proportio sinus lateris k l ad sinum lateris k e, est sicut proportio sinus arcus anguli k e l ad sinum arcus anguli k l e. Et similiter etiam proportio sinus lateris z h trianguli e z h ad sinum lateris e z, est sicut proportio sinus arcus anguli z e h ad sinum arcus anguli z h e, et duo latera k l, k e sunt aequalia duobus lateribus e z, z h, unumquodque latus suo relatiuo, propterea quod duo arcus e k, e z sunt eleuationes duorum arcuum k l, z h in horizonte posito, et duo anguli h e z et l e k sunt aequales, ergo oportet, ut sint duo sinus duorum arcuum duorum angulorum k l e, z b e aequales, et faciam transire per punctum e, et per duos polos orbis signorum duos arcus duorum circulorum magnorum, qui sint duo arcus e n, e p, existentes aequales, et sint cadentes ad partem unam ex duobus angulis n l e et p h e, et quoniam duo arcus e l, e n sunt aequales duobus arcubus e h, e p, unusquisque suo relatiuo, oportet propter illud quod demonstrauimus in his quae praemissa sunt, ut sit unusquisque duorum angulorum n l e p h e sequens latus sibi suppositum, scilicet arcus e n, e p, et ipsi sunt aequales. Oportet ergo propter illud, ut sit unusquisque duorum angulorum n l e, p h e sequens alterum, scilicet, si sit unus eorum rectus, aut acutus, aut expansus, sit alteri similis, unusquisque eorum ergo duorum angulorum k l e et z h e sequitur alter alterum, et duo sinus duorum arcuum ipsorum, ut iam ostensum est, quod sunt aequales, ergo ipsi sunt aequales, et illud est cuius uoluimus declarationem. Et dico iterum, quod