gnus. Sit ergo super sphaeram a b circulus b g d, et sit polus eius punctum a, et sit quadratus lineae egredientis ex puncto a, ad circumferentiam eius, quae sit linea a b, aequalis medietati quadrati diametri sphaerae, dico ergo quod circulus b g d est magnus, cuius demonstratio est haec. Continuabo punctum a, quod est polus circuli, centro eius, quod sit punctum e, lineam a e faciam penetrare donec concurrat superficiei sphaerae super punctum z, et continuabo lineam b z, propterea igitur quod circulus b g d signatus est super sphaeram, et continuatus est polus eius centro ipsius linea recta, cum ipsa transit per centrum sphaerae, et per polum eius secundum, et est perpendicularis super superificiem eius, ergp punctum z est polus circuli b g d, et linea a z est diameter sphaerae, quoniam transit per centrum sphaerae, quare quadratum eius est duplum quadrati lineae a b, secundum quod positum est. Et imaginabor superficium trianguli a b z  secantem sphaeram. erit ergo differentiae communis ei, et superficiei sphaerae circulus ab z g, propterea igitur quod angulus a b z est rectus, quoniam ipse est in semicirculo a b z est quadratum lineae a z aequale duobus quadratis duarum linearum a b, b z. at quadratum lincae a b positum est aequale medietati quadrati lineae a z. Ergo quadratum lineae a b est aequale quadrato lineae b z, et propterea quod linea a e est perpendicularis super superficiem circuli b g d, est unusquisque duorum angulorum a e b et b e z rectus. Ergo quadratum lineae a b, est aequale duobus quadratis duarum linearum a e et e b, et similiter quadratum lineae b z est aequale duobus quadratis b e et e z. Ergo duo quadrata duarum linearum b e et e z, sunt aequalia duobus quadratis duarum linearum b e et e a, ablato ergo quadrato lineae b e communi, remanet quadratum lineae e z aequale quadrato lineae e a. Ergo linea e z est aequalis linea a e, et linea a e z est diameter sphaerae a b. ergo punctum e est centrum sphaerae, et centrum circuli b g d. Ergo circulus b g d est magnus. et illud est cuius uoluimus declarationem. Et hinc demonstratum est, quod omnis circuli magni super sphaeram linea egrediens a polo ad circumferentiam eius est aequalis lateri cadentis quadrati in eo.

⟨I.4⟩ ⟨PROPOSITIO⟩ IIII.

OStendere uolo qualiter transire faciam super duo puncta super superficiem spherae notae circulum magnum. Sit itaque sphaera nota a b, et duo puncta signata super eam a et b. Cum ergo uoluero ut super ipsam transeat circulus magnus, ponam puncta a polum, et mensurabo cum longitudine lineae, cuius quadratum est aequale medietati quadrati quadratri ed. diametri sphaerae, quae sit linea a g, et circumducam circulum g e, et ponam iterum punctum b polum, et mensurabo illam longitudinem eandem, et circumducam circulum e d, et abscindant se isti duo circuli signati supra punctum e. propterea ergo quod a e est polus circuli g e, est linea a g aequalis a e. Et propterea quod punctum b est polus circuli e d, est linea b d aequalis lineae b e. At linea a g est aequalis lineae b d, ergo duae lineae a e et b e, sunt aequales. Cum ergo lineauerimus super polum e, et cum longitudine unius earum circulum transibit super extremitatem lineae alterius, ergo transibit per duo puncta a b. Sit itaque circulus a b g, dico ergo quod ipse est magnus. Cuius est demonstratio, quoniam quadratum uniuscuiusque duarum linearum a e et b e est aequale medietati quadrati diametri sphaerae a b, et unaqueque duarum linearum a e et e b, egreditur ex polo ciruli a b g ad circumferemtiam eius, ergo circulus a b g, est magnus, et transit per duo puncta a b, et hoc uoluimus declarare.

⟨I.5⟩ ⟨PROPOSITIO⟩ V.

CVm transit circulus magnus super duos polos circuli signati super sphaeram, tunc ipse secat eum in duo media, et est erectus super eum orthogonaliter, et econtra. Sit itaque circulus a b signatus super sphaeram, et sit polus eius punctum z, et transeat super eum circulus b g z magnus. Dico quod ipse diuidit circulum a b g in duo media, et est erectus super eum orthogonaliter, cuius declaratio haec. Continuabo centrum sphaerae, quod sit punctum e, cum polo circuli quod est punctum z, linea z e, et faciam ipsam penetrare donec concurrat lineae b g, quae est differen