ra, et sit portio, quae est sub terra circuli z k aequalis portioni, quae est supra terram, circuli p m secundum coalternationem. Sit ergo propter illud dies puncti z orbis signorum aequalis nocti puncti m eius, et nox puncti est aequalis diei puncti m secundum coalternationem, et propterea quod omnium duorum punctorum orbis signorum, quorum longitudo ab uno et eodem tropico longitudo est aqualis, est longitudo a circulo aequatoris diei longitudo aequalis, et est propter illud longitudo amborum ab unoquoque duorum punctorum longitudo aequalis, oportet propter illud, ut sit transitus amborum super circulum unum de circulis aequedistantibus aequatori diei. Erunt ergo propter illud dies amborum aequales, et noctes eorum aequales, et oportet propter illud, ut sit iudicium uniuscuiusque eorum cum suo relatiuo, scilicet, quod est unius diameter cum eo iudicum unum, et illud est quod nos uoluimus declarare. Et declaratur nobis ex proximo, quod sint illi super summitatem capitum, quorum uadat sol, et quando et quotiens accidat illud si considerauerimus longitudinem summitatis capitum a circulo aequatoris diei. Nam si fuerit maior maiore declinatione, cuius summa est 23. partes et 51. minutum, et 20. secunda, sciemus, quod sol non transit super summitatem capitum eorum, et si fuerit minor maiore declinatione, sciemus partem orbis signorum, cuius illa latitudo est quantitas declinationis ab aequatore diei. Sciemus ergo, quod quando sol erit in illa parte orbis signorum, et in parte, cuius latitudo a puncto tropici aestiui, est sicut longitudo illius partis ab eo transibit per summitatem capitum illorum, qui habitant sub illo circulo aequedistante aequatori diei, cuius elongatio ab eoest illa longitudo data, et sunt horizontes, super quos est eleuatio poli similis illi longitudini. Et si uoluerimus scire proportionem gnomonum ad umbras suas in duabus aequalitatibus, et duobus tropicis in horizonte dato, ponemus circulum meridiei illius horizontis circulum a b g et summitatem capitis in eo punctum a, et centrum eius punctum e, et producam diametrum a e g, et protraham a puncto g lineam tangentem circulum a b g, quae sit linea g t, et proculdubio ipsa est aequedistans differentiae communi inter circulum horizontis et circulum meridiei, et quoniam quantitas corporis sphaerae terrae apud orbem solis, est sicut quantitas puncti et centri, ita, ut non sit inter centrum e et caput gnomonis differentia neque diuersitas, ponam caput instrumenti centrum e, et imaginabor gnomonem lineam e g, et lineam g t lineam supra quam cadunt in meridie extremitates umbrarum, et sit sol, quando est super punctum tropici hyemalis super punctum d, et quoniam est in aequalitate uernali et autumnali supra punctum z, et quando est in tropico aestiuo super punctum h, et protraham lineas d e t, z e k, h e l, est ergo l inea d e t radius solis in meridie. quando sol est in tropico hyemali, et linea z e k radius eius, cum est in duobus punctis duarum aequalitatum, et linea h e l radius eius quando est in tropico aestiuo, ergo erit linea g t umbra gnomonis in tropico hyemali, et linea g umbra eius in duabus aequalitatibus, et linea g l umbra eius in tropico aestiuo. Propterea ergo quod arcus a z est notus, et est arcus latitudinis regionis datae, et unusquisque duorum arcuum z h, z d est notus, erit unusquisque angulorum g e t et g e c et g e l notus, et angulus g est rectus, ergo remanet unusquisque angulorum g t e et g k e et g l e notus. Erunt ergo arcus qui sunt super hos angulos continentes triangulos g e t et k g e et l e g noti, ergo proportio uniuscuiusque cordarum t g, k g, l g ad gnomonem e g erit nota. Et declaratur conuersio illius etiam, et est, quando positae fuerint duae de his tribus proportionibus, erit altitudo poli nota et erit arcus, qui est inter duos tropicos notus, et illud ideo, quoniam cum positi fuerint duo de angulis qui sunt apud punctum e, erit angulus reliquus notus, quoniam duo anguli e d z et z e h sunt aequales. Verum inuentio illius per considerationes secundum quod praecessit, est uerius et firmius, quoniam ex tremitates umbrarum in tropicis hyemalibus comprehendere est difficile, et alteratio quantitatum umbrarum in duabus aequalitatibus est uelox, et fortasse non comprehenditur, et illud est ideo, quoniam alteratio declinationum partium orbis signorum ab aequatore diei prope duas sectiones est magis secundum diuersitatem eius, quae est super eam in duobus tropicis, et illud est manifestum per illud quod praemisimus in tractatu primo huius libri, propter illud ergo uelox fit elogatio solis a summitate capitis, fit ergo propter illud necessario alteratio umbrarum, completa est eius declaratio. Qualiter autem sci