⟨I.23⟩ ⟨PROPOSITIO⟩ XXIII.

ET sint in circulo a b g duae cordae a b, b g diuersae, et sit corda b g maior corda a b, dico ergo, quod proportio cordae b g ad cordam a b est maior proportione arcus b g ad arcum a b, quod sic probatur. Producam lineam a g, et diuidam angulum a b g in duo media lineae b d, et producam duas lineas d a, d g, et protraham ex puncto d perpendicularem super lineam a g, quae sit perpendicularis d z, quare erit linea a d maior linea d e, et linea d e maior linea d z. Quod si posuerimus punctum d centrum, et cum longitudine d e fecerimus circulum c e h, cadet punctum c extra punctum z, et cadet punctum h in eo, quod est inter duo puncta a d secundum quod est in figura. Quare sector e d c est maior triangulo e d z, et sector e d h est minor triangulo e d a, quare proportio sectoris e d c ad sectorem e d h est maior triangulo e d z ad triangulum e a d, ergo proportio anguli z d e ad angulum e d a, est maior proportione lineae e z ad lineam e a, ergo secundum compositionem erit proportio anguli z d a ad angulum e d a maior proportione z a ad lineam a e. At linea a g est dupla lineae a z, et similiter angulus a d g est duplus anguli a d z, proportio ergo anguli a d g ad angulum a d e, est maior proportione lineae a g ad lineam a e, ergo secundum separationem erit proportio anguli g d e ad angulum a d e maior proportione lineae g e ad lineam e a, sed proportio lineae g e ad lineam e a est sicut proportio lineae g b ad lineam b a, et similiter proportio anguli g d e ad angulum a d e est sicut proportio arcus h g ad arcum a b, ergo proportio arcus b g ad arcum a b est maior proportione cordae b g ad cordam a b. Et postquam iam declarata sunt omnia quae diximus, tunc ponamus circulum a b g, et diuidamus circumferentiam eius in 300. et 60. partes aequales. quare est latus decagoni cadentis in eo, et est corda a b nota, scilicet, est proportio eius ad diametrum proportio nota, et latus exagoni, et est linea a g nota. Quare est per illud quod declarauimus linea b g continuans inter extremitates ambarum nota, quae est corda arcus 24. ergo corda medietatis eius, quae est 12. est per illud quod declarauimus iterum nota, et est corda 6. partium etiam nota, et similiter corda trium partium, et corda partis et semis, et corda trium quartarum partis omnes notae sunt, quare egreditur corda trium quartarum partis scilicet 47. minuta, et 8. secunda per partes, quibus diameter est 140. partes. Et ponamus in circulo a b g cordam a g cordam partis unius, et cordam a b cordam trium quartarum partis scilicet 47. minutorum et 8. secundorum, et iam declaratum est nobis nuper, quod proportio cordae a g ad cordam a b est minor proportione arcus a g ad arcum a b. Proportio ergo lineae a g ad lineam a b minor est proportione unius et tertiae ad unum, ergo est minor proportione partis unius ex duorum minutorum et 50. secundorum et 40. tertiorum ad 47. et 7. minuta et 8. secunda, quae sunt quantitas lineae a b, et haec proportio est proportio unius et tertiae ad unum. Quod si posuerimus iterum lineam a g cordam partis et mediae, et lineam a b cordam partis unius, declarabitur iterum, quod partis et mediae quantitas est pars una et 34. minuta et 15. secunda per partes, quibus diameter est 120. partes, et propterea, quod est proportio lineae a g ad lineam a b minor proportione partis unius et semis ad unum, et quantitas lineae a g est pars una et 34. minuta et 15. secunda. oportet ut sit corda a b, que est corda partis unius, plus duabus tertijs partis unius, et 34. minutorum et 15. secundum, ergo est plus parte una et duobus minutis et 15. secundis. Iam fuit ostensum, quod est minus parte una et 2. minutis, et 15. secundis, et 40. tertijs, ergo est secundum propinquitatem pars una, et duo minuta, et 15. secunda, et 20. tertia per partes, quibus diaameter est 120. partes, et est ex eo, cuius praecessit declaratio, corda medietatis partis nota, et prouenit etiam 31. minutum et 25. secunda fere. Et postquam illud ita est, tunc declaratae sunt omnes cordae cadentes