de manifesto est, quod sciuerimus illud quod eleuatur cum partibus quartae unius orbis signorum, erit illud quod eleuatur cum partibus cuiuscunque trium quartarum reliquiarum notum, propter similitudinem dispositionis in eis. Et similiter si ponatur nobis longitudo diei alicuius graduum orbis signorum in horizonte dato, erit arcus horizontis, qui est inter ortum illius gradus, et inter ortum capitis arietis aut librae notus, et illud est, quoniam cum nos posuerimus, ut sit circulus aequatoris diei b e d, et sit punctum z horizontis, ipsum punctum supra quod oritur, punctum datum orbis signorum, et sit longitudo diei illius puncti nota. Sit itaque polus punctum h, et faciam transire super ipsum et super punctum z arcum circuli magni, qui sit arcus h z t, et sit circulus z k circulus, super quem reuoluitur punctum z orbis signorum, propterea ergo quod duo puncta z t perueniunt super circumferentiam orbis meridiei, scilicet circuli a b g in tempore uno, est arcus t b aequatoris diei similis arcui k z. At arcus k z est notus, quoniam est arcus medij diei dati, ergo arcus k t est notus, uerum arcus b e est quarta circuli, ergo arcus e t est notus Est ergo triangulus e t z ex arcubus circulorum magnorum et angulus eius t est rectus, ergo proportio sinus complementi lateris e z subtensi recto, ad sinum complementi lateris e t unius duorum continentium eius, est sicut proportio sinus complementi lateris t z reliqui ad sinum quartae circuli. At arcus t z est notus, quoniam ipse est declinatio gradus positi, et arcus quartae circuli est notus, et arcus e t est notus, ergo sinus complementi arcus e z est notus, sed ipse est minor quarta circuli, ergo ipse est notus, et illud est quod uoluimus declarare. Et per huiusmodi iterum scitur altitudo poli, cum fuerint arcus isti dati, aut cum fuerit longior dies datus. Ponamus ergo punctum z horizontis punctum, super quod oritur principium signi cancri, et sit arcus e z notus. Dico ergo, quod eleuatio poli in illo horizonte est nota, cuius demonstratio haec est. Quoniam triangulus e t z ex arcubus circulorum magnorum, et angulus eius t est rectus, tunc proportio sinus lateris e z noti ad sinum lateris t z noti, est sicut proportio sinus arcus anguli t noti, quoniam ipse est rectus ad sinum arcus anguli t e z, ergo sinus arcus anguli t e z est notus, et ipse est minor recto, ergo arcus eius est notus, et est arcus a d, ergo est propter illud arcus h a, et est altitudo poli notus. completa est demonstratio eius. Et similiter iterum, si fuerit longior dies datus, et est duplum arcus b t, cum sit similis arcui z k, erit ergo propter illud arcus e t notus, et est additio medietatis diei dati supra medietatem diei aequalis, quare est proportio sinus complementi lateris e z ad sinum complementi lateris e t, sicut proportio linus complementi lateris t z ad sinum quartae circuli. Est ergo propter illud sinus complementi lateris e z notus, sed ipse est minor quarta circuli, ergo est notus propter illud, propter illud ergo est altitudo poli nota, sicut ostensum est nuper, et illud est cuius uoluimus declarationem. Et si posuerimus punctum m horizontis punctum super quod oritur principium signi capricorni, et punctum n polum meridiei super quod transeat, et super punctum m arcus circuli magni, qui sit arcus l m n, et posuerimus circulum m p circulum aequedistantem aequatori die, super quem transit punctum m, declarabitur ex proximo, quod arcus m e est aequalis arcui z e, et quod arcus diei capitis cancri est aequalis arcui noctis capitis capricorni, et nox capitis cancri aequalis diei capitis capricorni, et illud ideo, quoniam propterea quod arcus t z est aequalis arcui l m, et angulus t e z aequalis angulo l e m, erit proportio sinus arcus z t ad sinum arcus anguli z e t, sicut proportio sinus arcus l m ad sinum arcus anguli l e m. Proportio ergo sinus arcus e z ad sinum finum ed. arcus anguli t recti, est sicut proportio sinus arcus e m ad sinum arcus anguli e l m, quare oportet, ut sit sinus arcus z e aequalis sinui arcus e m, sed unusquisque nunsquisque ed. eorum est minor quarta circuli, ergo arcus z e est aequalis arcui m e, et illud recte sequitur in omnibus punctis duobus orbis signorum, quorum longitudo a puncto aequalitatis una est longitudo aequalis, scilicet est elongatio ortus amborum in horizonte ex puncto e longitudo aequalis, et propter illud sunt duae differentiae communes inter circulum horizontis, et inter unumquenque duorum circulorum z, p m aequales, et proprerea quod arcus z h est aequalis arcui m n, erunt duo circuli z k, p m aequales, et cordae aequales secant in circulis aequalibus arcus aequales, oportet ergo propter illud, ut sit portio circuli z k, quae est supta terram, aequalis portioni circuli p m, quae est sub ter