tio sinus perpendicularis b g, ad sinum arcus a g est sicut proportio sinus arcus anguli a, ad sinum arcus anguli b recti, et perpendicularis d z, est arcus complementi anguli g, et arcus a d, est complementum lateris a b. proportio igitur sinus arcus anguli a ad sinum arcus anguli b recti, est sicut proportio sinus complementi arcus anguli g reliqui, ad sinum complementi lateris a b subtensi ei. et illud est cuius uoluimus declarationem.

⟨I.15⟩ ⟨PROPOSITIO⟩ XV.

ET dico iterum, quod proportio sinus complementi arcus subtensi recto ad sinum unius complementi duorum continentium ipsum, est sicut proportio sinus complementi lateris reliqui ad sinum quartae circuli, cuius haec est demonstratio. Eandem reiterabo figuram, ergo duo arcus etiam b d et d e secant se super punctum d, et super punctum d b. Vnde ergo signata sunt duo puncta b a, et progrediuntur ex eis duae perpendiculares super arcum d e, quare est ex eis quod declarauimus, Proportio sinus arcus a z ad sinum arcus e b, sicut proportio sinus arcus a d ad sinum arcus d b, sed arcus a z est complementum lateris a g, et arcus e b est complementum lateris b g, et arcus a d est complementum lateris a b, et arcus d b est quarta circuli. Proportio ergo sinus complementi lateris a g subtensi recto ad sinum complementi lateris b g unius duorum continentium ipsum, est sicut proportio complementi sinus lateris a b reliqui ad sinum quartae circuli, et illud est quod uoluimus declarare. Ex istis ergo tribus theorematibus extrahitur ignotum ex noto trianguli arcuum circulorum magnorum orthogonij, scilicet, quia cum ponuntur eius tria laterum et angulorum eius nota, tunc cum istis tribus theorematibus scientur tria reliqua laterum et angulorum ipsius per quatuor lineas proportionales, et excusabit illud a figura sectore, et propterea, quia non euacuatur in istis proportionibus, quando illud quod positum est in eis, sit sinus anguli recti, aut sinus quartae circuli, et unusquisque amborum est medietas diametri circuli. et illud est 60. Oportet ut declaremus qualiter multiplicetur numerus in ipsum et qualiter diuidamus numerum per ipsum. Cum ergo necesse est multiplicare in ipsum, excusat a multiplicatione eius in 60. si eleuetur unaquaeque pars ipsius numeri uno ordine, scilicet si ponantur pro unoquoque graduum duo signa, et pro unoquoque minutorum eius gradus, et pro unoquoque secundorum eius minutum, et similiter in reliquis partibus eius. Et si necessarium est iterum diuidere numerum per ipsum, scilicet per 60. excusat ab hoc, ut deponatur unaquaeque partium illius numeri uno ordine, scilicet, ut redeat gradus ad minuta, et minutum ad secunda, et similiter reliquae partes eius.

⟨I.16⟩ ⟨PROPOSITIO⟩ XVI.

QVod autem superest nobis super quod demonstrationem afferamus, super quod ipse in libro suo non attulit demonstrationem, est quod corporis omnis spherae embadum maius est embado omnis corporis plurium superficierum aequalium perpendicularium egredientium a centro ad superficiem ipsius, cuius superficies est aequalis superficiei illius spherae sperae ed., et hoc ex primo declarabitur, cum ostensum fuerit, quod embadum spherae sperae ed. surgit ex multiplicatione medietatis diametri eius in tertiam superficiei eius. Incipiamus ergo declarare illud. Sit itaque sphera a b, et medietas diametri eius sit linea a g, et centrum eius sit punctum g. Dico ergo, quod multiplicatio a g in tertiam superficiei spherae a b est aequalis embado corporis spherae a b, cuius haec est demonstratio. Si enim non est multiplicatio a g in tertiam superficiei spherae a b aequalis corpori spherae, tunc erit aequalis corpori spherae maioris sphera a b, aut minoris. Sit itaque in primis aequalis spherae maiori sphera a b, et sit sphera d e, quae sit cum sphera a b super centrum unum, possibile ergo est, ut sit in sphera d e figura corporis plurium basium, cuius bases sint non contingentes superficiem spherae a b. Quare erit unaquaeque perpendicularium productarum ex centro g super superficies eius maior linea a g. Si ergo continuentur anguli illius corporis euenientis in sphera d e cum centro spherae, prouenient piramides, quarum omnium capita erit centrum spherae, et earum bases erunt bases corporis, et embadum cuiuscunque piramidis earum proueniet ex multiplicatione suae perpendicularis in tertiam balis suae, et propterea quod linea a g, quae est me