remanet arcus a b aequalis arcui a g. Et quia portio z d est erecta super diametrum circuli a b g orthogonaliter, et separat ex eo arcus z b et z g aequales, et signatum est super circumferentiam portionis punctum d, qualitercunque cecidederit, tunc linea egrediens ex puncto d ad punctum b, est aequalis lineae egredienti ex puncto d ad punctum g. Ergo arcus b d est aequalis arcui g d. remanet itaque arcus b e aequalis arcui g e. Et sit quod circulus a e z d magnus diuiserit arcus separatos uniuscuiusque duorum circulorum a b et e b, in duo media. Dico ergo quod ipse transit per polos eorum, quod sic probatur. Quoniam si non transit per polos eorum, erit tunc circulus illius magnus transiens per polos eorum communicans cum circulo a e z d magno in punctis a e z d quatuor. erit ergo unusquisque arcuum a e, et e z, et z d semicirculus. hoc autem est impossibile. Circulus ergo a e z magnus, transit per polos duorum circulorum a b g et b e d, et hoc uoluimus declarare. Et si circulus a e z d iam diuiserit arcus separatos circuli a b g, in duo media, et transeat per polos eius, aut per polum circuli e b g, qui sit punctum h, dico ergo quod ipse transit per polos eorum, cuius demonstratio haec est. Quoniam si non transit arcus a e d per polos duorum circulorum, tunc erit circulus magnus per polos eorum amborum transiens, diuidens arcus separatos uniuscuiusque amborum in duo media, quare communicabit cum circulo a e d in duobus punctis a z, cum polo unius duorum circulorum, quod est punctum h. Quare erit unusquisque duorum arcuum a h et z h semicirculus. hoc uero contrarium est, et impossibile. Circulus igitur a e d transit per duos polos duorum circulorum a b g, et e b g, et illud uoluimus declarare.

⟨I.10⟩ ⟨PROPOSITIO⟩ X.

SInt super sphaeram duo circuli a b g et h z e aequedistantes et aequales, quorum utrunque circulus a e h magnus secet, et non transeat super polos amborum, et sint differentiae communes eis duae lineae a g et e h. Dico ergo, quod circulus a h e secat unumquenque duorum circulorum a b g et e z h, in duas sectiones diuersas. et quod sectiones coalternae utrorumque sunt aequales, scilicet sectio a b g aequalis sectioni h p e, et similiter sectio a d g aequalis sectioni e z h, et quod circulus magnus aequedistans duobus circulis a b g, et e z h, qui sit circulus q l, lecat arcum g q h et arcum a l e, in duo media super duo puncta l q. quod sic demonstratur. Ponam enim duos polos duorum circulorum aequedistantium duo puncta, m, n, et polum circuli a g e punctum f, et transeat super duo puncta m f circulus magnus, qui sit d f m. Propterea ergo quod arcus m n est semicirculus, et arcus k c iterum semicirculus, erit arcus k n aequalis arcui m c. et propterea quod duo circuli a b g, et e z h sunt aequales, erunt duo arcus n b et m p aequales. remanent ergo duo arcus b k et p c aequales. et propterea quod circulus b f m transit per duos polos duorum circulorum a b et e z, et per polum circuli a g e, secantis eos ambos. erit circulus b f m erectus super unumquenque horum circulorum trium orthogonaliter. Et diuidit arcus separatos uniuscuiusque eorum in duo media. Et propterea quod arcus k n est aequalis arcui m c, et unusquisoque eorum amborum est minor medietate portionis suae. Et linea egrediens a puncto n ad punctum a, est aequalis lineae egredienti ex puncto m ad punctum e. Erit ergo arcus a k aequalis arcui e c. Sed arcus a k est aequalis arcui k g. Et similiter arcus e c est aequalis arcui h c, quare erit totus arcus a k g aequalis toti arcui e c h. Linea ergo a g c, est aequalis lineae e h. Et propterea quod duo circuli a b g, et e z h sunt aequales, erit portio a b g aequalis portioni e p h. Et similiter portio a d g aequalis portioni e z h Et propterea quod portio b f c transit per duos polos duorum circulorum a g h, et q l magnorum,