tionibus, scilicet, ut sint loca considerata orbis signorum, praeter puncta aequalitatis et conuersionis, ueruntamen est difficilis, et ingredietur eam propinquitas propter multitudinem multiplicationis multipilcationis ed. et diuisionis, et inueniendi radicem. Et postquam patuit ei locus augis solis orbis signorum, et quod est inter duo centra, possibile ei fuit inuenire quantitates diuersitatum particularium in omnibus partibus orbis signorum secundum hunc modum. Ponam ergo orbis egredientis centri circulum a b g in circuitu centri d, et sit diameter eius a d g, et ponam centrum orbis signorum super eam punctum e, et separabo ex orbe egredientis centri arcum a b per quamcunque quantitatem fuerit, et continuabo punctum b cum centro orbis egredientis centri, et cum centro orbis signorum per duas lineas b d et b e, propterea ergo, quod linea e d, quae est inter duo centra, est nota per quantitatem, qua medietas diametri orbis egredientis centri est nota, tunc est unumquodque duorum laterum b d, d e trianguli b d e notum, et angulus eius b d e est notus, ergo angulus eius d b e est notus, et iste angulus est angulus diuersitatis, quae est inter motum aequalem et uisibilem, scilicet inter duos angulos a d b et a e b. Minuatur itaque ex partibus anguli a d b positi, si fuerit sol in medietate, quae est a longitudine longiore ad longitudinem propiorem, scilicet, si fuerit arcus a b positus minor semicirculo, et addatur super eas, si fuerit in medietate secunda, scilicet, si fuerit arcus a b maior semicirculo, quod ergo est post additionem aut diminutionem, est quantitas anguli a e b, qui est elongatio solis in orbe signorum a puncto a, et iam ostensum fuit, quod locus huius puncti orbis signorum est notus, ergo propter illud est locus solis orbis signorum notus, et illud est, quod uoluimus declarare. Et similiter si fuerit angulus positus angulus a e b, sciemus iterum quantitatem anguli b per illam eandem demonstrationem, sciemus ergo ex eo quantitatem anguli a d b. Et similiter si sol mouetur super orbem reuolutionis, ponam ergo or bem signorum circulum a b in circuitu centri e, et sit super circumferentiam eius orbis reuolutionis d h, et sit centrum eius super circumferentiam huius orbis punctum b, et continuabo lineam e b d, et ponam punctum a circumferentiae orbis signorum punctum super quod est sol cum centro orbis reuolutionis, cum est in longiore longitudine orbis reuolutionis, scilicet, cum est supra punctum d, et continuabo punctum a cum centro orbis signorum per lineam a e g, et sit arcus a b qui est motus solis medij positus per quamcunque quantitatem uolumus, et sit arcus d h orbis reuolutionis, qui est motus diuersitatis aequalis ei, et continuabo punctum h cum centro orbis reuolutionis per lineam h b, et quoniam trianguli e b h angulus b est notus, et duo latera eius e b, b h sunt nota, est angulus h e b notus, et est angulus diuersitatis. Minuatur ergo aut addatur secundum locum solis in orbe signorum, et illud est, quod uoluimus declarare. Et similiter si fuerit notus angulus a e h, scilicet motus solis uerus, et uoluerimus scire motum eius medium, scilicet angulum a e b. Nos namque extrahemus angulum b e h, propterea quod angulus b h e est aequalis angulo a e h, ergo est notus, et unumquodque duorum laterum e b, h b est notum, est ergo propter illud angulus b e h notus, minue ergo ipsum aut adde secundum locum solis in orbe reuolutionis eius, et quod fuerit post additionem aut diminutionem, erit quantitas anguli a e b. completa est declaratio.

⟨III.2⟩ De diuersitate dierum cum noctibus suis.

ET postquam, speculatus est in diebus cum noctibus suis, inuenit eos in ueritate diuersos, et illud est, quoniam dies cum nocte sua est tempus, in quo incipit sol ab horizonte, aut circulo meridiei, usquequo redeat ad illum eundem circulum, et hoc tempus est, in quo reuoluuntur partes circuli aequatoris diei, et additio ad illud eius quod eleuatur de eo cum partibus orbis signorum, quas abscidit sol in illo tempore, et hoc tempus additum consequitur diuersitas duobus modis, quorum unus est, quod sol abscidit de orbe signorum in temporibus aequalibus arcus diuersos, et secundus est, quod partes aequales orbis signorum eleuantur ab horizonte, aut orbe meridiei cum partibus diuersis aequatoris diei. Et est tempus quidem anni solis, ipsum tempus in quo reuoluitur circulus aequatoris diei reuolutionibus, quarum numerus est numerus dierum anni, et additio ad illud reuolutionis unius, et est illa, quae reuoluitur cum partibus orbis signorum, quas abscidit sol in tempore anni. Cum ergo diuiduntur illae reuolutiones per numerum dierum anni, egreditur inde uni diei et nocti suae reuolutio una aequatoris diei, et additio ad illud 59. minutorum de eo secundum propinquitatem, et est illud quod egreditur de diuisione circuli aequatoris diei additum super reuolutiones supra numerum dierum anni. Est ergo propter illud tempus