BM tetragonum, habebimus et BM quidem totam longitudinem longitudinem] longitudine V₂F₁ eorumdem xlix xxxi, BE vero similiter xliiii, reliqua vero BN talium xxx xxxvii, qualium et ZN erat iiii viii, et quoniam que ab ipsis composita faciunt quod ab BZ, habebimus et BZ ypothenusam longitudine eorumdem xxx liiii. Quare et qualium est BZ ypothenusa cxx, talium et ZB quidem erit xvi ii, que vero super ipsam periferia xv xxi, qualium est qui circa BZN orthogonium circulis ccclx, et ZBN ergo angulus, qualium quidem sunt duo recti ccclx, talium est xv xxi, qualium autem iiii recti ccclx, talium vii et xl ad proximum, tantorum ergo graduum est TK epicicli periferia.

Rursum quoniam secundum tempus observationis distabat Luna a medio quidem apoguio epicicli gradibus cclxii xx, ab K vero medio periguio reliquis manifestum quoniam post semicirculum gradibus lxxxii xx, erit et KL quidem periferia graduum lxxxii xx, TKL vero tota graduum xc o, rectus ergo est TBL angulus. Quare quoniam qualium est DB quidem que e centro excentrici xlix xli, BL non non] vero V₂F₁ que e centro epicicli v xv, talium et EB ostensa erat xl et lx^orum iiii, que vero ab eis composita faciunt quod ab EL tetragonum, habebimus et EL longitudine eorumdem xl xxv, que ergo secundum observationem apostima Lune talium est xl xxv, qualium est BL quidem que e centro epicicli subiacet v et xv, EA vero que a centro terre in apoguium excentrici lx, EG autem que a centro terre in periguium excentrici xxxix xxii. Verum ostensum est quod secundum observationem Lune apostima, hoc est EL recta, talium xxxix xlv, qualis est unius que e centro terre, et qualium ergo est EL quidem recta eius quod secundum observationem lunaris apostimatis xxxix xlv, que vero e centro terre unius, talium erit et EA quidem recta eius quod secundum sunzugias medii apostimatis lix o, EG vero eius quod secundum dichothomias medii apostimatis xxxviii xliii, que autem e centro epicicli eorumdem v x. Quod propositum erat demonstrare.

Demonstratis autem nobis secundum expositum modum Lune aposimatibus, consequens erit utique et illud quod Solis coostendere, prompto et huiusmodi facto per lineas, si simul dentur eis que secundum sinzugias Lune apostimatibus quantitates in ipsis constitutorum ad visum angulorum sub diametris Solis et Lune et umbre.

⟨V.13⟩ ⟨De quantitate apparentium in sinzugiis diametro Solis et Lune et umbre⟩

⟨Harum ergo que ad huiusmodi consideracionem ephodorum alias quidem, quante per ydrometria vel ea que secundum equinoctiales ortus tempora putantur luminarium facere mensuracionem, refutavimus, eo quod non sane possit per huiusmodi propositum sumi. Construentes autem et ipsi ostensam ab Ipparco per tetracubitum canonem dioptram et per istam facientes observaciones Solis quidem diametrum sub eodem ad proximum angulo ubique contentam invenimus, nulla semone digna facta differentia ex apostimatibus ipsius, ea vero que Lune tunc tantum et ipsam sub eodem Soli angulo contentam, quando in pleniluniis maximo apostimate a terra distat secundum apoguiotaton existens epicicli, et non quando medio, consequenter priorum ypothesibus. Ad hec autem et angulos ipsos aliquo cura digno minores deprehendimus traditis, nequaquam tamen per eam que in canone mensuracionem investigantes quod huiusmodi, sed per quasdam lunares eclipses. Quando enim equalem subtendit angulum utraque diametrorum, promptum ex canonis constructione poterat fieri, propter nullam consequi in huiusmodi mensuracionem. Sed et quantum multum nobis apparebat dubitabile, ea que investigacionibus superapposite latitudinis in longitudinem canonis que a visu in prismatium, plurima existente mensuracionem mensuracionem] mensuracione F₁ mentiri a veritate potente. Quoniam vero semel Luna secundum maximum ipsius apostima equalem ad visum angulum apparebat faciens, per circa hoc apostima observatas lunares eclipses subtensi sub ipsa anguli magnitudinem investigantes et eum qui Solis coostensum habebimus inde. Modum autem huiusmodi investigacionis per duas rursum subordinatarum eclipsium bene investigabilem investigabilem] intelligibilem F₁ faciemus.⟩

⟨Quinto enim anno Navopollasari qui est cxxvii^us annus a Navonassaro, secundum Egiptios Athir xxvii^a in xxviii^a, hora xi desinente, in Babilone cepit Luna deficere, defecitque plurimum a notho iiii^a diametri. Quoniam ergo principium quidem eclipseos factum fuit post v horas a mesonictio temporales, medium autem tempus post vi ad proximum, que erant in Babilone tunc equinoctiales v dimidium iii^a, eo quod Sol examinate optineret Arietis gradus xxvii et lx^orum iii, manifestum quoniam factum fuit medium tempus eclipseos, quando plurimum in umbra inciderat diametri, in Babilone quidem post v horas equinoctiales et dimidium et iii^a a mesonictio, in Alexandria vero rursum post v solas et colligit quod ab epochis tempus annos egiptiacos cxxvi et dies lxxxvi horas equinoctiales, simpliciter quidem xvii, ad omalam vero nictimera xvi dimidium iiii. Quare et medius quidem secundum longitudinem Lune progressus obtinebat Chelarum gradus xxv xxxii, examinatus vero gradus xxxvii v, qui vero ab apoguio epicicli gradibus ccclx ccclx] cccxl F₁ et lx^is vii, qui autem a boreali termino in obliquo circulo gradibus lxxx xl, et manifestum quoniam, quando ix et iii distat a nodis centrum Lune in obliquo circulo circa maximum existentis apostima, et erit in scripto per ipsum ad rectos ei qui obliquo maximo circulo centrum umbre, secundum quam posicionem maxime fiunt obscuraciones, quarta ipsius in umbram incidit diametri.⟩

⟨Rursum vero septimo anno Cambisi qui est ccxxv annus a Navonassaro secundum Egiptios Phamenoth xvii^a in xviii ante unam horam a mesonictio in Babilone defecit Luna ab arctis medietate diametri. Facta est ergo et ista eclipsis in Alexandria ante i dimidium iii hore equinoctialis ad proximum a mesonocitio. Et colligit quod ab epochi tempus annos egiptiacos ccxxiiii et dies et cxcvi et horas equinoctiales simpliciter quidem x et vi^a, examinate vero ix et dimidium iii^a, eo quidem quidem] quod F₁ Sol optineret Carchini gradus xviii xii. Quare et Luna secundum longitudinem medie quidem optinebat Egoceri gradus xx xxii, examinate vero xviii xiiii. Distabat autem et ab apoguio quidem epicicli gradibus xxviii v, a boreali vero termino obliqui circuli gradibus cclxii xii. Et hinc ergo manifestum quoniam, quando vii gradibus et iiii quintis a nodis distat centrum Lune in obliquo circulo circa idem maximum existentis apostima, centro umbre dictam habente ad ipsum posicionem, media pars in umbram incidit lunaris diametri. Sed siquidem ix et iii gradibus distat a nodis in obliquo circulo centrum Lune, xlviii et dimidio lx^a unius gradus distat ab eo qui per media in ad rectos ei qui obliquus per ipsum scripto maximo circulo. Quando vero vii gradibus et iiii quintis distat a nodis in obliquo circulo xl et Γ_o xl unius gradus ab eo qui per media distat in ad rectos obliquo per ipsum scripto maximo circulo. Quoniam ergo duarum quidem eclipsium superhabundancia quartam continet lunaris diametri, que vero expositarum centri ipsius duarum distanciarum ab eo qui per media animalia, hoc est a centro umbre, sexagesima unius gradus vii dimidium iii^a manifestum quoniam et tota diametros Lune subtendit maximi circuli periferiam sexagesimorum unius gradus xxxi iii^a. Facile vero intellectu est inde quoniam et que e centro umbre que secundum idem apostima maximum Lune subtendit quidem unius gradus sexagesima xl Γ_o, quoniam quidem, quando tantis saxagesimis centrum Lune a centro umbre distabat, elevabatur a circulo umbre, eo quod medietatem lunaris diametri defecisset. Indifferenti autem minor est dupla et adhuc iii quintis maior ea que e centro Lune sexagorum existente xv Γ_o. Per plures vero huiusmodi observaciones consonas ad proximum expositas quantitates deprendentes et ad alia circa eclipses considerata cousi sumus sumus] add. ipsis F₁ et nunc ad demonstracionem solaris apostimatis secundum eandem futuram, quam et Ypparcus consequtus consequtus] consecutus F₁ est, et velut comprehensis sub conis circulis Solis et Lune et terre in differenti minoribus existentibus in speris ipsorum scriptis maximis circulis et diametris.⟩

⟨V.14⟩ ⟨De solari apostimate eique coostensis⟩

⟨Istis ergo datis et quoniam secundum sinzugias maximum apostima Lune talium est lxiiii x, qualium est unius que e centro terre, eo quod medium quidem ostendatur eorumdem lix, ea vero que e centro epicicli v x, videamus quantum colligitur et Solis apostima. Sint enim maximi et in eodem epipedo sperarum circuli, solaris quidem ABG circa centrum D, lunaris vero secundum maximum eius apostima EZI circa centrum T, eius autem que secundum terram KLM circa centrum N; eorum vero que per centra epipedorum, terram quidem et Solem conprehendens AXG, Solem vero et Lunam ANG et axis quidem communis DTNX, que vero per contactus recte parallile manifestum quoniam facte et diametris equales ad sensum, solaris quidem circuli ADG, lunaris vero ETI, eius autem qui terre KNM, eius vero qui umbre in quam incidit secundum maximum apostima Luna OPR, quare et equalem esse TN ei que est NP et utraque talium lxiiii x, qualis est NL que e centro terre unius. Operti Operti] oportet F₁ autem invenire, quam habet proporcionem ND recta solaris apostimatis ad NL que e centro terre. Educatur ergo EIC, et quoniam demonstravimus quoniam Lune diametros secundum expositum in sinzugiis maximum apostima subtendit periferiam secundum ipsam scripti circa centrum terre circuli, talium o xxxi xx, qualium est circulus ccclx, erit utique enim enim] ENI F₁ angulus talium xxxi xx, qualium iiii recti ccclx, medietas vero ipsius TNI talium rursum o xxxi xx, qualium sunt duo recti ccclx. Quare et que quidem super TI periferia, talium est o xxxi xx, qualium qui circa NIT orthogonium circulus ccclx, que vero super TN reliquorum in semicirculum clxxix xxviii xl, et earum que sub ipsis rectarum IT quidem erit talium o xxxii xlviii, qualium NI diametros cxx, NT vero eorumdem cxx ad proximum. Quare et qualium est NT recta lxiiii x, talium et TI erit o xvii xxxiii, eiusdem vero est NM que e centro terre unius. Sed quoniam proporcio est recte PR ad TI, quam habent ii xxxvi ad proximum ad unum, fiet et PR eorumdem o xlv xxxlviii xxxlviii] xxxviii F₁. Couterque Couterque] coutreque F₁ ergo TI et PR talium sunt unius iii xi, qualis est NM unius. Couterque PR et TC tota eorumdem sunt ii, eo quod equales ipse sint duabus NM, et parallile enim, ut diximus, sunt omnes, equalis NP ei que est NT. Et reliqua ergo IC relinquetur talium o lvi xlix, qualium est NM recta unius, et est sicut NM ad IC, ita NG quidem ad IG, ND vero ad TD. Qualis ergo est ND unius, talium et DT quidem erit o lvi xlix, reliqua vero TN eorumdem o iii xi. Quare et qualium est NT quidem recta lxiiii x, NM vero unius, talium habebimus et ND solaris apostimatis L ccx ad proximum. Similiter autem, quoniam qualis est NM recta unius, talium PR ostensa est o xlv xxxviii. Sicut autem NM ad PR, ita NX ad XP, et qualis ergo NX recta unius, talium XP quidem erit o xlv xxxviii, reliqua vero PN eorumdem o xiiii xxii, et qualium ergo est PN quidem recta lxiiii x. NM vero que e centro terre unius, talium et XP quidem erit cciii l ad proximum, XN vero tota cclxviii. Collectum ergo nobis est quoniam, qualis est que e centro terre unius, talium est Lune quidem in sinzugiis medium apostima lix, Solis vero iccx, quod autem e centro terre usque verticem communi umbre cclxviii.⟩

⟨V.15⟩ ⟨De magnitudinibus Solis et Lune et terre⟩

⟨Facilis vero intellectu fit hinc et solidarum quantitatum proporcio ab ea que diametrorum Solis et Lune et terre. Quoniam enim ostensum quidem est quoniam, qualis unius et NM que e centro terre, talium est TI quidem que e centro Lune xxxvi, NT vero recta lxiiii x, est autem et sicut NT ad TI, ita ND ad DG, eorumdem et ND ostensa iccx, habebimus et DG que e centro Solis eorumdem v et dimidii ad proximum, et diametrorum ergo tales erit proporciones. Quare et qualis est Lune diametros unius, talium et ea quidem que terre iii et duarum quintarum ad proximum, que vero Solis xviii et iiii quintarum. Itaque terre quidem diametros lunaris tripla est et adhuc duabus quintis maior, ea vero que Solis lunaris quidem decoctupla et adhuc iiii quintis maior, eius vero que terre quincupla et adhuc et adhuc medietate ad proximum maior, secundum eadem ergo quoniam et qui ab uno quidem cubus eiusdem est unius, qui vero a tribus et duabus quintis eorumdem ad proximum xxxix iiii, qui vero ab xviii et iiii quintis similiter vidcxliiii et dimidii ad proximum, collectum est nobis quoniam et qualis est unius Lune solida magnitudo, talium est terre quidem xxxix iiii, Solis vero vidcxliiii et dimidii, centupla et septuagintupla ergo ad proximum solaris quantitas terre.⟩

⟨V.16⟩ De particularibus permutationibus Solis et Lune

His ergo ita subiacentibus, consequens utique erat coostendere rursum per brevia, quo quis modo ex apostimatum quantitate Solis et Lune et secundum partem ipsorum factas permutationes investiget et primum in maximo per punctum quod secundum verticem et in ipsa scripto circulo consideratas.

Sint ergo in dicti maximi circuli epipedo terre quidem rursum minimus minimus] maximus V₂ circulus AB, qui vero secundum Solem et Lunam GD, ad quem vero terra puncti rationem habet EZIT, et centrum quidem omnium K, que vero per ea que secundum verticem puncta diametros KAGE, et assumpta a puncto G quod secundum verticem GD periferia talium verbi causa existente ut, ut] xxx V₂F₁ qualium est GD circulus ccclx, copulentur que que] quidem V₂F₁ rursum KDI et ADT, ab A vero parallilos quidem trahatur AZ ei que est KI, cathetus vero in ipsam AB; AB] AL V₂F₁ quoniam ergo, non manente semper eodem apostimate circa utrumque luminarium, circa Solem quidem futura propter hoc permutationum differentia brevis omnino et insensibilis erit, eo quod et excentrotis circuli eius parva sit et apostima magnum, que vero circa Lunam et multum utique fiet sensibilis, et eius qui in epiciclo motus ipsius causa et eius qui ipsius epicicli secundum excentricum non parvam facientis circa apostases differentia utrique, Solis quidem permutationes in una sole proportione ostendemus, dico autem ea que iccx ad unum. Eas vero que Lune in iiii maxime in eas que deinceps ephodos melioris vie futuris. Sumpsimus autem iiii istorum apostimatum prima quidem duo facta, epiciclo secundum appoguiotaton excentrici contingente, et istorum prius quidem quod usque apoguium epicicli, quod collectum est per demonstrata talium lxiiii x, qualis est que e centro terre unius, secundum autem quod usque periguium epicicli collectum, et hoc eorumdem liii l, reliqua vero ii facta, in epiciclo secundum periguiotaton excentrici contingente; et istorum vero rursum prius quidem usque apoguium epicicli collectum per predemonstrata talium xliii liii, qualis est que e centro unius, secundum vero usque periguion epicicli collectum et ipsum eorumdem xxxiii xxxiii. Quoniam ergo GD perifieria subiacet graduum xxx, erit utique et GKD angulus, qualium quidem sunt iiii recti ccclx, talium xxx, qualium vero ii recti ccclx, talium lx. Quare et que quidem super AL periferia talium est lx, qualium qui circa AKL orthogonium circulus ccclx, que vero super KL reliquorum in semicirculum cxx, et earum ergo que sub ipsis rectarum AL quidem talium erit lx, qualium est AK diametros cxx, KL vero eorumdem ciii lv, et qualis ergo est AK unius, talium, et AL quidem erit o xxx, KL vero recta o lii. Eorumdem vero est et KLD recta in solari quidem apostimate iccx. In lunaribus autem secundum primum quidem terminum lxiiii x iuxta, secundum vero liii l, secundum tertium autem xliii liii, secundum quartum vero xxxiii xxxiii, et reliqua ergo LD hoc est AD quoniam indifferenti sunt inequales, in solari quidem apostimate erit iccix viii. In lunaribus autem secundum primum quidem terminum lxiii xviii, iuxta secundum vero lii lviii, secundum iii autem xliii i, secundum quartum vero xxxii xli. Quare et qualium est AD ypothenusa cxx, talium erit AL recta, subaudito ne idem replicemus eodem ordine, o ii lix et o lvi lii et i vii lviii et i xxiii xli et i l ix et ea ergo que super ipsam periferia talium erit o ii l et o liiii xviii et i iiii liiii et i xx et l l] i V₂F₁ xlv ad proximum, qualium est qui circa DLA orthogonium circulus ccclx, ADB vero angulus, hoc est ZAT, qualium quidem sunt ii recti ccclx, talium o ii l et o liiii xviii et i iiii liiii et i xx et i xlv, qualium vero iiii recti ccclx, talium o i xxv et o xxvii ix et o xxxii xxvii et o xl o et o lii xxx. Quare quoniam A quidem punctum indifferens est K centro, ZIT vero periferia indifferenti maior est ea que est IT, eo quod terra tota puncti rationem habeat ad EZIT circulum, et IT permutationis periferia, qualium est EZIT circulus ccclx, talium in solari quidem apostimate erit o i xxv, in lunaribus vero secundum primum quidem terminum o xxvii ix, iuxta secundum autem o xxxii xxvii, secundum tertium vero o xl o, secundum quartum autem o lii xxx. Quod propositum erat demonstrare.

Eodem modo et in reliquis apostasibus ab eo quod secundum verticem puncto factas secundum unumquodque terminum permutationes investigantes per gradus vi usque tetartimorii gradus xc, descripsimus canonia ad distinctiones permutationum in versus quidem rursus xlv, selidia vero ix, quorum in primo quidem apposuimus tetartimorii gradus xc per duo manifestum quoniam augmentum ipsorum facientes, in secundo vero pertinentia cuique portioni lx^a solarium permutationum, in tertio autem eas que secundum primum terminum Lune permutationes, in quarto vero superhabundantias earum que secundi termini permutationum ad eas que primi, in quinto autem eas que secundum tertium terminum permutationes, in sexto vero superhabundantias permutationum iiii termini ad eas que tertii, qualium ut in xxx graduum appositione o i xxv Solis, postea que deinceps o xxvii ix primi termini Lune, et deinceps o v xviii, quibus superat secundus terminus primum; postea rursum o xl tertii termini, et lx^a o xii xxx, quibus et quartus terminus tertium superat. Causa vero et eas que in mediis apoguiorum et periguiorum apostimatibus permutationes proportionaliter eis que secundum partem portionibus ab eis que secundum expositos iiii terminos prompte docendi per lx^orum appositionem reliqua nobis selidia tria copulata sunt ad appositionem talium differentiarum, quarum et ipsarum fecimus investigationem in hunc modum.

Esto enim epiciclus Lune ABGD circa centrum E, quod vero eius qui per media animalia et terre centrum Z, et copulata AEDZ, protrahatur ZGB, et copulentur quidem BE et GE. Catheti vero trahantur in AD, a puncto quidem B BI, a puncto vero G GT, et subiaceat primum Luna AB periferia distans ab eo quod secundum A examinato et ad centrum Z considerato apoguio graduum verbi causa existentem lx. Quare et BEI angulum, qualium quidem sunt iiii recti ccclx, talium esse lx, qualium vero ii