Secundum eadem vero demonstrabitur quoniam et secundum divisionem recte GE ad EA proportio composita est ex ea que recte GZ ad DZ et ea que recte DB ad BA, per punctum A recte EB equidistante ducta et educta in ipsam recta GDN. Quoniam enim rursum parallilos est recta AN, recte EZ est sicut GE ad EA, ita GZ ad ZN. Verum recta ZD ab extrinsecus sumpta, recte GZ ad ZN proportio componitur ex ea que recte GZ ad ZD et ea que recte DZ ad ZN. Est autem recte DZ ad ZN proportio eadem ei que recte DB ad BA, quoniam in equidistantes AN et ZB protracte sunt BA et ZN. Recte ergo GZ ad ZN proportio composita est ex ea que recte GZ ad DZ et ea que recte DB ad BA. Verum recte GZ ad ZN proportioni eadem est recte GE ad EA proportio. Quare componitur ex ea que recte GZ ad DZ et ea que recte DB ad BA. Quod oportebat demonstrare.

Rursum esto circulus ABG, cuius centro D, summanturque in ipsius circumferentia quelibet tria puncta A, B, G ita, ut utraque periferiarum AB et BG semicirculo fit fit] sit V₂F₁ minor, – et in deinceps sumptis periferiis simile subaudiatur –, copulenturque AG et DB; DB] DEB V₂ dico quoniam est sicut que sub dupla periferie AB ad eam que sub dupla periferie AB … periferie] iter. V₃ BG, ita AE recta ad EG. EG] add. rectam V₂F₁ Ducantur enim catheti ab A et G punctis in DB, sintque AZ et GN. Quoniam equidistans est recta AZ recte GN et protracta est in ipsas recta AEG est ut AZ ad GN ita AE ad EG. Verum eadem proportio est recte AZ ad GN et eius que sub dupla periferie BA ad eam que sub dupla periferie BG, – dimidia enim utraque utriusque –, et ea ergo que recte AE ad EG proportio eadem est proportioni eius que sub dupla periferie AB ad eam que sub dupla periferie BG. Quod oportebat demonstrare.

Consequitur autem inde quoniam, etsi date sint tota AG periferia et eius que sub dupla periferie AB ad eam que sub dupla periferie BG proporcio, dabitur et utraque AB et BG periferiarum. Eadem enim exposita descriptione, copulentur A D ducaturque a puncto D cathetus DZ super AEG. Quoniam ergo, AG periferia data, et ADZ angulus dimidio eius subtensus datus erit et totus ADZ trigonus, manifestum quoniam vero, et recta AG tota data, subiacet et recte AE ad EG, proportio eadem proportioni eius que sub dupla periferie AB ad eam que sub dupla periferie BG et que est AE erit data et reliqua ZE. Ac propter hoc, et DZ data, dabitur et angulus EDZ orthogonii EDZ et totus ADB angulus. Quare et AB periferia dabitur et reliqua BG. Quod oportebat oportebat] oportet V₂F₁ demonstrare.

Rursus esto circulus ABG circa centro D atque in ipsius periferia summantur tria puncta A, B, G ita, ut utraque periferiarum AB et AG sit semicirculo minor, – et in deinceps sumptis periferiis simille subaudiatur –, copulateque DA et GB educantur et concurrant ad punctum E; dico quoniam est sicut que sub dupla periferie GA ad eam que sub dupla periferie AB, ita GE recta ad BE. Similiter limatio priori, si a punctis B et G cathetos duxerimus in DA, sintque BZ et GN, erit enim eo quod ipse sint equidistantes, sicut GN ad BZ, ita GE ad EB, quare et sicut que sub dupla periferie GA ad eam que sub dupla periferie AB, ita GE ad EB.

His prelibatis, scribantur in sperica superfitie maximorum periferie circulorum ita, ut in duas AB et AG due scripte BE et GD seinvicem secent ad punctum Z. Sit autem earum unaqueque semicirculo minor, – idem vero et in omnibus descriptionibus subaudiatur –; dico ergo quoniam eius que sub dupla periferie GE ad eam que sub dupla periferie EA proportio composita est ex eius que sub dupla periferie GZ ad eam que sub dupla periferie ZD proportione et proportione eius que sub dupla periferie DB ad eam que sub dupla periferie BA. Summatur enim centrum spere sitque I et ducantur ab I in B, Z, E sectiones circulorum sintque IB et IZ et IE, copulataque AD educatur et concurrat ei que est IB educte et ipsi ad punctum T. Similiter autem copulate DG et AG secent IZ et IE ad K et L puncta. In una ergo sunt recta T, K et L puncta, eo quod in duobus simul sunt epipedis, trigoni scilicet AGD atque circuli BZE. Que copulata facit in duas rectas TA et GA protractas TL et GD secantes seinvicem ad K punctum. Recte ergo GL ad LA proportio composita est ex recte GK ad KD proportione et ea que recte DT proportione ad TA. Verum sicut GL quidem ad LA, ita que sub dupla periferie GE ad eam que sub dupla periferie EA. Sicut autem GK ad KD ita que sub dupla periferie GZ ad eam que sub dupla periferie ZD. Ut vero DT ad TA, ita que sub dupla periferie DB ad eam que sub dupla periferie BA. Et proportio igitur eius que sub dupla periferie GE ad eam que sub dupla periferie EA composita est ex proportione eius que sub dupla periferie GZ ad eam que sub dupla periferie ZD et proportione eius que sub dupla periferie DB ad eam que sub dupla periferie BA. Secundum eadem vero et quemadmodum in epipeda descriptione rectarum ostenditur quoniam et eius que sub dupla periferie GA ad eam que sub dupla periferie EA proportio composita est ex eius que sub dupla periferie GD ad eam que sub dupla periferie DZ proportione et proportione eius que sub dupla periferie ZB ad eam que sub dupla periferie BE. Quod propositum erat demonstrare.

⟨I.14⟩ De periferiis que inter equinoctialem et obliquum circulum

Isto ergo theoremate preexposito, prima propositarum periferiarum apodixem faciemus hoc modo. Esto enim qui per utrosque polos equinoctialis et eius qui per media animalia circulus ABGD et equinoctialis quidem emiciclion AEG, eius vero qui per media