Ptolemy, Almagesti (tr. Gerard of Cremona)Start

Venice, Petrus Liechtenstein, 1515 · 6r

 … Loading: Venice, Petrus Liechtenstein, 1515 · 6r …

Et postquam premisimus capitulum, describam semicirculum, supra quem sint A, B, G, D, super diametrum AD, et protraham ab A duas chordas AB et AG, sitque cuiusque earum quantitas nota, et producam chordam BG. Dico ergo quod etiam chorda BG erit nota. Quod sic probatur: Protraham enim duas chordas BD et GD. Manifestum est igitur quod ipse etiam note sunt, quoniam quecunque earum est chorda residui semicirculi. Et quia in semicirculo est quadrilaterum super quod sunt A, B, G, D, ergo ductus BA in GD cum ductu AD in BG simul equantur ductui AG in BD. Et quoniam ductus AG in BD est scitus, et ductus AB in GD est scitus, et diameter AD est nota, erit chorda BG nota. Iam ergo ostensum est quod cum fuerint duo arcus noti notarum chordarum, chorda superflui quod est inter eos erit nota. Manifestum est etiam quod possibile est ut per hoc capitulum chorde plures superflui arcuum chordas secundum seipsas notas habentium producantur. Et similiter reperiemus chordam arcus 12 partium, propterea quod scimus chordam sexaginta et chordam septuagintaduarum partium.

Quod si etiam arcus fuerit notus et chorda eius nota et voluerimus invenire chordam medietatis eius, tunc describemus semicirculum super quem sint A, B, G, sitque diameter AG, et sit arcus BG chordam habens notam quem in duo media supra D secabo, et protraham chordas AB et AD et BD et DG, et producam perpendicularem RD super diametrum AG erectam. Dico ergo quod RG est medietas superflui AG super AB. Quod sic probatur: Ponam enim lineam AE equalem linee AB et producam lineam DE. Et quia AB est equalis AE facta AD communi, erunt due linee AB et AD equales duabus lineis AE et AD, queque videlicet sue relative equalis, et angulus BAD equalis angulo EAD, ergo et basis BD equalis basi DE. Et quia BD equatur DG, erit DG equale DE. Quia igitur triangulus DEG duorum equalium existit laterum, erit perpendicularis DR dividens basim EG in duo media. Ergo ER equatur RG ac tota EG est superfluum AG super AB. Ergo RG est medietas superflui AG super AB. Et quoniam chorda arcus BG est nota, erit chorda residui semicirculi, que est AB, nota, que est equalis AE. Et quia diameter AG est nota, erit EG, que est residuum diametri, nota, et eius medietas, que est RG, nota, que est medietas superflui AG super AB. Quia igitur in triangulo ADG ortogonio egreditur ab eo perpendicularis DR, erit triangulus ADG ortogonius equiangulus triangulo DRG et erit proportio AG ad DG sicut proportio GD ad GR. Ductus igitur AG in GR equatur quadrato GD. Quapropter longitudo chorde GD est nota, que subtenditur medietati arcus BG. Per hoc ergo capitulum scientur chorde plures si mediaveris ea quorum precessit scientia. Quarum est sicut chorda arcus 12 partium et chorda arcus sex partium et chorda arcus trium partium et chorda arcus partis et semis et chorda arcus medietatis partis et quarte. Et hoc etiam modo inveniemus quod chorda arcus partis et semis est pars et 34 minuta et 15 secunda vicinius secundum quantitatem qua diameter est 120 partes, et chorda arcus medietatis et quarte partis secundum illam quantitatem est cifre et 47 minuta et 8 secunda fere.

Describam etiam circulum ABGD supra diametrum AD, et sit centrum circuli R, et accipiam ab A duos arcus notos coniunctos duas chordas notas habentes, supra quos sint AB et BG, et copulabo unam chordam eorum alteri. Dico igitur quod si protraxerimus chordam AG, erit ipsa quoque nota. Quod sic probatur: Producam enim a B diametrum circuli, que sit BRE, et protraham lineas BD et GD et DE et GE. Manifestum est igitur quod ex scientia linee BG scietur linea GE, et ex noticia AB scietur BD, et ex ea DE. Et propter hoc quod iam premisimus, quoniam in circulo est quadrilaterum supra quod sunt BGDE et eius due diametri sunt BD et GE, erit ductus unius diametri eius in alterum equalis omnibus duobus ductibus omnium duorum laterum oppositorum cuiusque in alterum. Quia igitur ductus BD in GE est notus, erunt duo ductus BG in DE et GD in BE simul noti. Diameter vero BE est nota. Ergo linea GD reliqua est nota. Quapropter chorda arcus residui semicirculi, que est AG, est nota. Iam ergo novimus quod cum duo arcus coniuncti fuerint noti chordas habentes notas, erit eorum chorda simul iunctorum nota. Per hoc autem capitulum declaratur nobis quod quotiens composuerimus chordam arcus partis et semis cum qualibet chordarum notarum et totius eius quod erit ex earum compositione descripserimus in tabulis libri nostri chordam, continget ut cum arcus illarum chordarum duplabuntur, habeat arcus cuiusque illarum chordarum tertiam integram, et erunt chorde eorum omnes veraciter note, et remanebunt inter omnes duas chordas earum duo loca duarum chordarum tantum quarum perscrutabimur scientiam, eo quod posuimus arcus in tabulis libri nostri secundum superfluum medietatis partis.

Quod si nos reperiremus chordam arcus medietatis partis, vere inveniremus cum ea per capitulum compositionis et capitulum superflui augmentorum quantitates chordarum reliquorum arcuum que sunt inter chordas notas quas nominavimus secundum veritatem numerationis linearum almisaat et tegdir et per hoc compleremus omnes chordas circuli secundum superfluum medietatis partis et medietatis partis. Hoc autem non secundum veritatem reperitur. Quoniam etsi chorda arcus partis et semis sit nota, tamen eius tertia non est reperta secundum