Ptolemy, Almagesti (tr. Gerard of Cremona)Start

Venice, Petrus Liechtenstein, 1515 · 6v

 … Loading: Venice, Petrus Liechtenstein, 1515 · 6v …

veritatem numerationis almisaat et tegdir. Perscrutabor igitur inventionem chorde arcus unius partis per chordam arcus partis et semis et per chordam arcus medietatis et quarte et ponam capitulum de hoc. Quamvis enim non contineat vere quantitatem omnium chordarum, possibile tamen est ut per ipsum inveniatur quantitas chordarum parvorum arcuum, ita ut nihil veritatis eius cuius sentitur quantitas deficiat. Et ad hoc premittam hoc capitulum et dicam: Si descripte sint in circulo due chorde diverse, erit proportio chorde longioris ad chordam breviorem minor proportione arcus chorde longioris ad arcum chorde brevioris. Et describam propter hoc circulum, supra quem sint A, B, G, D, in quo sint due chorde diverse, quarum brevior sit AB et earum longior sit BG. Dico ergo quod proportio chorde BG ad chordam BA est minor proportione arcus BG ad arcum BA. Quod sic probatur: Dividam enim angulum ABG in duo media linea BD et protraham lineas AEG et AD et GD. Et quoniam angulus ABG divisus est in duo media linea BED, erit linea GD equalis linee AD. Linea autem GE est longior linea AE. Producam autem a D ad lineam AEG perpendicularem DR. Et quia linea AD est longior linea ED et linea ED est longior DR, erit circulus descriptus supra centrum D cum longitudine DE secans AD et pertransiens DR. Igitur signabo circulum supra quem sint H, E, T et producam DR ad T. Et quia sector DET est maior triangulo DER et triangulus DEA est maior sectore DEH, erit proportio trianguli DER ad triangulum DEA minor proportione sectoris DET ad sectorem DEH. Proportio autem trianguli DER ad triangulum DEA est sicut proportio linee ER ad lineam EA, et proportio sectoris DET ad sectorem DEH est sicut proportio anguli RDE ad angulum ADE. Ergo proportio linee RE ad lineam EA est minor proportione anguli RDE ad angulum EDA. Cum ergo composuerimus, erit proportio linee RA ad lineam EA minor proportione anguli RDA ad angulum ADE, et erit proportio dupli AR, quod est GA, ad AE minor proportione anguli GDA, qui est duplus anguli ADR, ad angulum EDA. Et cum diviserimus, erit proportio linee GE ad AE minor proportione anguli GDE ad angulum EDA. Sed proportio linee GE ad EA est sicut proportio chorde GB ad chordam BA, et proportio anguli GDB ad angulum BDA est sicut proportio arcus GB ad arcum BA. Proportio igitur chorde GB ad chordam BA est minor proportione arcus GB ad arcum BA. Et hoc est quod voluimus demonstrare.

Postquam affirmavimus hanc precedentem figuram, describam circulum ABG et in eo duas chordas AB et AG. Et ponam primum ut AB subtendatur arcui medietatis et quarte partis circuli et AG subtendatur arcui partis unius. Et quia proportio chorde AG ad chordam AB est minor proportione arcus AG ad arcum AB et arcus AG est quantum AB et eius tertia, ergo, quia iam ostensum est quod chorda AB est cifre et 47 minuta et 8 secunda secundum quantitatem qua diameter est 120, erit chorda AG minus parte una et duobus minutis et 50 secundis secundum quantitatem illam, tertiis pretermissis, que non ponuntur in tabulis, que tamen sunt 40 secundum illam quantitatem. Hoc namque vicinius existit tanto et tertie tanti quantum sunt 47 minuta et 8 secunda. In hoc quoque circulo ponam ut chorda AB subtendatur arcui partis unius et chorda AG subtendatur arcui partis et semis. Secundum ergo quod narravimus, quoniam arcus AG est quantum arcus AB et semis, erit chorda GA minus quam quantum chorda AB et semis. Iam autem ostensum fuit quod chorda AG est pars et 34 minuta et 15 secunda secundum quantitatem qua diameter est 120. Chorda igitur AB est plus parte et duobus minutis et 50 secundis secundum quantitatem illam. Pars namque et 34 minuta et 15 secunda sunt tantum et medium tanti quantum est pars et duo minuta et 50 secunda. Postquam ergo chorda unius partis circuli quandoque est minus parte et 2 minutis et 50 secundis et quandoque maius parte et duobus minutis et 50 secundis, tunc manifestum est quod convenit nobis ut accipiamus chordam unius partis circuli partem unam chorde et duo minuta et 50 secunda secundum quantitatem qua diameter est 120. Et propter hoc quod iam ostensum est per id quod diximus erit chorda arcus medietatis partis fere cifre et 31 minuta et 25 secunda. Et per hoc complebitur residuum reliquarum chordarum quas prediximus que sunt inter chordas notas. Chordam enim arcus duarum partium sciemus per compositionem arcus partis et semis cum arcu medietatis partis. Sed chordam arcus duarum partium et semis sciemus propter superfluum, videlicet per superfluum arcus trium partium super arcum medietatis partis. Et similiter sciemus quantitatem reliquarum chordarum. Et illud est quod demonstrare voluimus.

⟨I.10⟩ Capitulum decimum: Quomodo tabule chordarum partium circuli fiant

Ut autem sciatur quantitas chordarum arcuum circuli, hoc levius est quo fit et brevius et magis aggregatum. Et quoniam necesse est nobis scire numerum partium chordarum et quantitatem earum et ut sint preparate, faciam tabulas, et in unaquaque tabula 45 areas, eo quod in hoc mensurationis bonitas consistit. Et describam in prima tabula numerum partium arcuum superfluentium medietate partis et