duodecim horarum, quoniam una duarum medietatum orbis equationis diei comprehendit ipsum. Divisiones autem quas oportet nos scire et quod estimamus conveniens ei quod est necessarium in hoc libro sunt scientia eius quod accidit in locis habitabilibus que sunt sub unoquoque orbium equidistantium et equidistantium orbi equationis diei. Et hoc est quanta sit longitudo duorum polorum sphere prime ab horizonte, aut quanta sit longitudo puncti quod est supra summitatem capitum in orbe meridiei ab orbe equationis diei, et in quibus locis currat Sol supra summitatem capitum, et quando et quotiens sit illud, et que sit proportio instrumentorum ad umbras suas per que consideratur in equalitate diei et in duobus tropicis in medietatibus diei, et quantum addat dies longior et minuat dies brevior de die equali. Et preter hoc que sint augmenta et diminutiones que accidunt nocti et diei, et que sint diversitates eius cum quo elevatur equator diei et orbis declivis et cum quo occultantur ambo, et que sint proprietates angulorum provenientium ex sectione orbium maiorum et magnitudines eorum et omnia que ex eis contingunt et que in eis accidunt.

⟨II.2⟩ Capitulum secundum: Qualiter sciantur quantitates arcuum circuli horizontis qui sunt inter orbem equationis diei et orbem declivem propter quantitatem diei longioris cum fuerit datus et econverso

Huius itaque exemplum ponam lineam que est supra Rhodum equidistantem orbi equationis diei, ubi est altitudo poli 36 partes et in quo dies longior 14 horas et medietatem hore ex horis equalibus habet. Et describam propter hoc meridiei orbem, supra quem sint A, B, G, D, et describam in eo medietatem circuli horizontis orientalis, supra quam sint B, E, D, et medietatem orbis equationis diei, supra quam sint A, E, G, et signabo supra polum meridianum R et supra ortum tropici hiemalis orbis signorum H, et describam supra duo puncta R et H arcum RHT, et ponam longitudinem diei longioris, et inquiram quantitatem arcus EH circuli horizontis. Et quia revolutio sphere non est nisi super duos polos equationis diei, tunc manifestum est quod duo puncta H et T cadunt simul in tempore uno super arcum AB orbis meridiei propter motum sphere. Tempus autem puncti H quod est ab oriente ad medium celi quod supra terram est est quantitas arcus TA. Tempus vero a medio celi sub terra ad oriens est quantitas arcus GT. Et sequitur hoc ut sit tempus diei quantitas dupli arcus TA et tempus noctis existat quantitas dupli arcus GT. Sectiones enim orbium equidistantium orbi equationis diei separate sunt supra terram et sub terra, eo quod orbis meridiei secat eos omnes in duo media et duo media. Quapropter erit arcus ET, qui est medietas superflui quod est inter longiorem diem vel breviorem et inter equalitatem, hora et quarta hore in loco huius linee, et illud est 18 tempora et 45 minuta. Arcus autem residuus ad complendam quartam, qui est TA, erit 71 tempora et 15 minuta. Secundum ergo quod iam precessit ex declaratione, iam secant se inter duos arcus orbium maiorum, qui sunt AE et AR, duo arcus EHB et RHT supra H. Ergo proportio chorde dupli arcus EA ad chordam dupli arcus AT aggregatur ex duabus proportionibus, ex proportione chorde dupli arcus TR ad chordam dupli arcus RH et ex proportione chorde dupli arcus HB ad chordam dupli arcus BE. Duplum autem arcus TA est 142 partes et 30 minuta, et eius chorda est 113 partes et 37 minuta et 54 secunda, et duplum arcus AE est 180 partes, et eius chorda 120. Duplum quoque arcus TR est 180 partes, et eius chorda 120 partes. Et duplum arcus RH est 132 partes et 17 minuta et 20 secunda, et eius chorda 109 partes et 44 minuta et 53 secunda. Cum ergo proiecerimus ex proportione 113 partium et 37 minutorum et 54 secundorum ad 120 proportionem 120 ad 109 partes et 44 minuta et 53 secunda, remanebit proportio chorde dupli arcus HB ad chordam dupli arcus BE, que est proportio 103 partium et 55 minutorum et 23 secundorum ad 120. Chorda vero dupli arcus BE, quoniam ipse est quarta circuli, est 120. Ergo chorda dupli arcus HB fere secundum illas partes est 103 partes et 55 minuta et 23 secunda. Quapropter erit duplum arcus HB 120 partes et arcus HB solum secundum illas partes 60 partes. Remanet ergo arcus EH secundum illas partes 30 partes secundum quantitatem qua circulus horizon est 360 partes. Et hoc est quod oportuit nos demonstrare.

⟨II.3⟩ Capitulum tertium: Qualiter sciatur altitudo poli propter hos arcus, cum ponuntur, et propter quantitatem diei longioris, cum fuerit datus, et econverso

Sit ergo illud datum, et investigemus inventionem altitudinis poli, que sit arcus BR orbis meridiei. Erit ergo in hac forma proportio chorde dupli arcus ET ad chordam dupli arcus TA aggregata ex duabus proportionibus, ex proportione chorde dupli arcus EH ad chordam dupli arcus HB et ex proportione chorde dupli arcus BR ad chordam dupli arcus RA. Duplum vero arcus ET est 37 partes et 30 minuta, et eius chorda est 38 partes et trigintaquattuor minuta et 22 secunda, et duplum arcus TA est 142 partes et 30 minuta, et chorda eius 113 partes et 37 minuta et 54 secunda. Duplum quoque arcus EH est 60 partes, et chorda eius 60 partes, et duplum