nis a longiori longitudine meridiei, que est illud quod est inter duos tropicos, est semper 47 partes et plus duabus tertiis partis et minus medietate et quarta partis. Et hec quidem consideratio convenit considerationi quam consideravit Archusianus philosophus qua Abrachis operatus est. Illud enim quod est inter duos tropicos est fere 11 secundum quantitatem qua linea orbis meridiei est 83. His autem considerationibus vicinius sumitur declinatio locorum in quibus consideravimus, et hoc cum assumpserimus arcum qui est inter punctum quod est inter hec duo spacia quod est in linea orbis equationis diei et inter punctum quod est supra summitatem capitum, qui demonstratur esse equalis longitudini cuiusque duorum polorum ab horizonte.

Et quoniam sequitur ut demonstrem post hoc numerum partium quantitatum arcuum qui sunt orbium maiorum descriptorum super duos polos orbis equationis diei, et sunt arcus qui sunt inter lineam equationis diei et lineam medii orbis signorum, oportet ut premittam capitula pauca utilitatem afferentia quibus possimus demonstrare plurimum scientie demonstrationum sphericarum quam levius possibile est et sapientius. Describam ergo duas lineas AB et AG et protraham in eo quod inter illas duas lineas est BE et GD sese supra R secantes. Dico ergo quod proportio GA ad EA aggregatur ex duabus proportionibus, ex proportione GD ad DR et ex proportione RB ad BE. Quod sic probatur: Protraham ab E lineam EH equidistantem linee DG. Et quia EH et GD sunt equidistantes, fit proportio GA ad AE sicut proportio GD ad EH. Ponam autem RD mediam inter GD et EH. Manifestum est igitur quod proportio GD ad EH aggregatur ex duabus proportionibus, ex proportione GD ad DR et ex proportione DR ad EH. Quapropter proportio GA ad AE aggregatur ex proportione GD ad DR et ex proportione DR ad EH. Proportio vero DR ad EH est sicut proportio BR ad BE. Et quoniam due linee EH et RD sunt equidistantes, ergo proportio AG ad AE aggregatur ex duabus proportionibus, ex proportione GD ad DR et ex proportione BR ad BE. Et hoc est quod proposuimus.

Similiter quoque declarabitur secundum modum dividendi quod proportio GE ad EA aggregatur ex duabus proportionibus, ex proportione GR ad RD et ex proportione DB ad BA. Quod sic probatur: Producam enim AH equidistantem ER et protraham GD ad H. Et quia due linee AH et ER sunt equidistantes, fit proportio GE ad EA sicut proportio GR ad RH. Ponam autem DR mediam inter GR et RH. Manifestum est igitur quod proportio GR ad RH aggregatur ex duabus proportionibus, ex proportione GR ad RD et ex proportione RD ad RH. Verum proportio RD ad RH est sicut proportio DB ad BA, quoniam due linee BA et RH cadunt super duas lineas AH et BE equidistantes. Ergo proportio GR ad RH aggregatur ex duabus proportionibus, scilicet ex proportione GR ad RD et ex proportione BD ad BA. Proportio autem GE ad EA est sicut proportio GR ad RH. Ergo proportio GE ad EA aggregatur ex duabus proportionibus, ex proportione GR ad RD et ex proportione DB ad BA. Et hoc est quod voluimus ostendere.

Describam etiam circulum, supra quem sint A, B, G, supra centrum D, et dividam ex circulo duos arcus AB et BG, et ponam unumquemque eorum semicirculo minorem. Et similiter dividentur omnes arcus in sequentibus. Hanc ergo exceptionem memorie commendemus. Et protraham duas lineas AG et DEB. Dico ergo quod proportio AE ad EG est sicut proportio chorde dupli arcus AB ad chordam dupli arcus BG. Quod sic probatur: Protraham enim duas lineas perpendiculares a duobus punctis A et G ad lineam DB, que sint AR et GH. Et quia AR et GH equidistant et cadit super eas linea AEG, erit proportio AR ad GH sicut proportio AE ad EG. Proportio vero AR ad GH est sicut proportio chorde dupli arcus AB ad chordam dupli arcus BG, quoniam unaqueque est medietas chorde sui dupli. Ergo proportio AE ad EG est sicut proportio chorde dupli arcus AB ad chordam dupli arcus BG. Et hoc est quod demonstrare voluimus.

Hoc autem superest quod cum arcus AG totus fuerit notus et proportio chorde dupli arcus AB ad chordam dupli arcus BG nota, erit unusquisque duorum arcuum AB et BG notus. Verbi gratia: Reiterabo enim figuram, et protraham lineam AD, et producam perpendicularem AD ad lineam AEG, que sit DR. Et quoniam cum fuerit arcus AG notus, erit angulus ADR, cuius basis est medietas arcus, notus, erit et totus triangulus ADR notus. Et manifestum est quod cum fuerit tota chorda AG nota, et iam firmum est quod proportio AE ad EG est sicut proportio chorde dupli arcus AB ad chordam dupli arcus BG, erit linea AE nota. Et post hoc sciemus RE. Et propter hoc quod DR est nota sciemus ex hoc angulum EDR trianguli EDR ortogonii, quoniam omnis trianguli ortogonii notorum laterum reliqui eius anguli sunt noti per illud quod premisimus in tabulis loci portionis cuiusque chorde arcus. Sciemus ergo totum angulum ADB. Et propter hoc sciemus arcum AB et sciemus arcum BG, qui est residuum arcus AG. Et hoc est quod oportuit nos declarare.

Describam etiam circulum, supra quem sint A, B, G, super centrum D, et sit unusquisque duorum arcuum AB et AG minor semicirculo, et similiter quisque arcus dividetur in sequentibus existens minor semicirculo, et protraham duas lineas HDA et GB et producam eas donec concurrant super E. Dico ergo quod proportio GE ad EB est sicut pro