portio chorde dupli arcus AG ad chordam dupli arcus AB. Huius autem demonstratio prime similis est. Protraham enim ad lineam HDA duas perpendiculares AB et AG, que sint BR et GH. Et quia ipse sunt equidistantes, erit proportio GE ad EB sicut proportio GH ad BR. Et propter hoc erit proportio GE ad EB sicut proportio chorde dupli arcus GA ad chordam dupli arcus AB. Et illud voluimus demonstrare.

Sequitur vero hoc quoniam cum fuerit hic arcus GB solum notus et fuerit proportio chorde dupli arcus AG ad chordam dupli arcus AB nota, scietur arcus AB. Quod sic probatur: Protraham namque in figura simili huic forme etiam a puncto D semidiametrum DB et perpendicularem ad chordam BG, que sit DR. Angulus ergo BDR, cuius basis est medietas arcus BG, erit notus. Quapropter totus triangulus BDR ortogonius est notus. Et quia proportio GE ad EB est nota et chorda GB est nota, sciemus ex hoc EB et per consequens totam lineam EBR. Et quoniam DR est nota, erit angulus EDR trianguli EDR ortogonii notus et sciemus angulum EDB residuum, cuius quantitas est arcus AB, quem querebamus.

Et postquam premisimus hec antecedentia, describam in superficie spherica arcus orbium maiorum, qui sint arcus AB et AG et arcus BE et GD sese secantes supra R. Et sit quisque arcuum minor semicirculo. Hanc vero exceptionem commendabimus memorie in omnibus formis. Dico igitur quod proportio chorde dupli arcus GE ad chordam dupli arcus EA aggregatur ex proportionibus duabus, ex proportione chorde dupli arcus GR ad chordam dupli arcus RD et ex proportione chorde dupli arcus DB ad chordam dupli arcus BA. Quod sic probatur: Ponam enim centrum sphere H, et protraham a centro ad puncta B et R et E, ubi se secant circuli lineas HB et HR et HE, et protraham chordam AD, et producam HB, que est medietas diametri, donec concurrant supra punctum T, et protraham duas lineas GA et GD secantes duas lineas HR et HE supra duo puncta K et L. Fiunt ergo in linea una recta tria puncta, que sunt T et K et L, quoniam ipsa ipfa M. simul sunt in superficie trianguli AGD et in superficie circuli BRE. He ergo due superficies se secant in linea LKT. Cum ergo hec linea protrahetur, due linee TL et GD se secabunt inter duas lineas TA et GA, et erit earum sectio supra K. Manifestum est ergo quod proportio GL ad AL aggregatur ex duabus proportionibus, ex proportione GK ad KD et ex proportione DT ad TA. Proportio autem GL ad LA est sicut proportio chorde dupli arcus GE ad chordam dupli arcus EA, sicut ostensum est in primo quattuor circulorum precedentium hanc figuram, et proportio GK ad KD est sicut proportio chorde dupli arcus GR ad chordam dupli arcus RD, et proportio DT ad TA est sicut proportio chorde dupli arcus DB ad chordam dupli arcus BA, quemadmodum ostensum est in tertio quattuor circulorum precedentium hanc figuram. Ergo proportio chorde dupli arcus GE ad chordam dupli arcus EA aggregatur ex duabus proportionibus, ex proportione chorde dupli arcus GR ad chordam dupli arcus RD et ex proportione chorde dupli arcus DB ad chordam dupli arcus BA. Ex eo autem quod demonstratum est ex proportionibus linearum in forma superficiali precedente declaratur quod proportio chorde dupli arcus GA ad cordam dupli arcus AE aggregatur ex duabus proportionibus, ex proportione chorde dupli arcus GD ad chordam dupli arcus DR et ex proportione chorde dupli arcus RB ad chordam dupli arcus BE. Et hoc intendimus probare.

⟨I.13⟩ Capitulum tredecimum: De scientia quantitatum arcuum qui sunt inter orbem equationis diei et orbem medii signorum qui sunt declinationis

Et postquam premisimus hoc capitulum, ostendemus primum demonstrationes super hos arcus quemadmodum narrabo et exemplificabo. Describam ergo orbem quem revolvunt duo poli simul, polus orbis equationis diei et polus medii orbis signorum, et signabo super ipsum ABG, et decribam in eo medietatem orbis equationis diei, supra quam sint A, E, G, et medietatem orbis medii signorum, supra quam sint B, E, D, qui se secent supra punctum E, quod sit punctum equationis diei vernale, et sit tropicus hiemalis punctum B et tropicus estivalis punctum D, et ponam ut polus orbis equationis diei sit punctum R arcus ABG, et ponam ut arcus EH, qui est orbis signorum, sit triginta secundum quantitatem qua orbis maior est 360, et describam arcum RHT, qui sit orbis magni, et investigabo scientiam arcus HT. Et quia abhorreo iterare sermonem in omni hora, dico ergo quod cum nos nominamus in hoc loco et in omni eius simili qui est ex eis quos declaraturi sumus mus M. numerum partium arcuum aut partium chordarum, nolumus intelligere per partes arcuum nisi illas que sunt ex partibus maioris, scilicet circuli 360, et per partes chordarum nisi illas que sunt ex 120 partibus diametri circuli. Et quoniam in forma horum orbium maiorum inter duos arcus AR et AE sunt duo arcus RT et EB sese supra H secantes, fit ut proportio chorde dupli arcus RA ad chordam dupli arcus AB aggregetur ex duabus proportionibus, ex proportione corde dupli arcus RT ad chordam dupli arcus TH et ex proportione chorde dupli arcus HE ad chordam dupli arcus EB. Iam autem scivimus quod duplum arcus RA est 180, et chorda eius 120, et duplum arcus AB secundum quod consideravimus et convenimus supra ipsum secundum