invenire angulos in sphera declivi, demonstrabimus etiam. Et dicemus primum quod puncta orbis signorum que sunt equalis longitudinis a puncto equationis diei faciunt angulos qui sunt apud horizontem unum equales. Et describam propter hoc meridiei orbem, supra quem sint A, B, G, D, et medietatem orbis equationis diei, supra quam sint A, E, G, et medietatem orbis horizontis, supra quam sint B, E, D, et describam duas portiones orbis declivis, supra quas sint R, H, T et K, L, M, sitque unumquodque duorum R et K punctum autumnale, et sit arcus RH equalis arcui KL. Dico ergo quod angulus EHT equatur angulo DLK (latera namque trianguli EHR sunt equalia lateribus trianguli EKL propter ea quorum precessit declaratio) quodque latus suo relativo, scilicet RH equale KL, et EH horizontis equale EL, et ER orbis equationis diei equale EK. Ergo angulus EHR equatur angulo ELK, et angulus EHT residuus equatur angulo DLK residuo. Et illud est quod oportuit nos demonstrare.

Et dico quod duo anguli qui sunt apud duo puncta opposita, orientale cum occidentali, equantur duobus angulis rectis. Nos namque, si descripserimus duos circulos, quorum unus sit orbis horizontis, supra quem sint A, B, G, D, et alter circulus orbis signorum, supra quem sint A, E, G, R, se supra duo puncta A et G secantes, tunc duo anguli qui sunt ex RAD et DAE erunt equales duobus angulis rectis. Angulus vero RAD est equalis angulo RGD. Quapropter ambo qui sunt ex RGD et ex DAE equantur duobus angulis rectis.

Et quia iam ostensum est quod anguli equalis longitudinis a puncto equationis diei qui sunt in uno horizonte sunt equales, tunc iam sequitur illud ut sint etiam anguli equalis longitudinis a puncto tropico, orientalis eorum cum occidentali, equales duobus angulis rectis. Quapropter cum nos sciverimus angulos orientales qui sunt ab Ariete usque ad Libram, sciemus etiam iam cum scientia nostra eorum angulos orientales qui sunt in medietate altera orbis et sciemus etiam angulos occidentales qui sunt in medietatibus ambabus. Et faciam propter modum inveniendi illud secundum brevitatem sermonis exemplum in linea equidistanti cuius altitudo poli septentrionalis ab horizonte est 36 partes. Anguli vero qui proveniunt ex duobus punctis equalitatis orbis signorum apud horizonta possibile est ut inveniantur faciliori acceptione. Et describam propter hoc circulum orbis meridiei, supra quem sint A, B, G, D, et medietatem circuli huius horizontis orientalis, supra quam sint A, E, D, et quartam equationis diei, supra quam sint E, R, et duas quartas orbis signorum, supra quas sint E, B et E, G, et sit punctum E, scilicet quod est quarte EB, punctum autumnale, et quod est quarte EG punctum vernale, et sit punctum B tropicum hiemale, et punctum G tropicum estivum. Colligitur ergo ex hoc ut sit arcus DR 54 partes, et unusquisque duorum arcuum BR et RG 23 partes et 51 minuta vicinius, et arcus GD vicinius 30 partes et 9 minuta, et arcus BD secundum illam quantitatem 77 partes et 51 minuta. Et quia punctum E est polus orbis meridiei, supra quem sunt A, B, G, D, erit angulus DEG, qui est sub capite Arietis, 30 partes et 9 minuta secundum quantitatem qua angulus rectus est 90 partes, et angulus qui est ex DEB sub capite Libre erit secundum illam quantitatem 77 partes et 51 minuta.

Sed ut sit acceptio nostra in angulis manifesta, assumemus etiam ad illud exemplum et inquiremus inventionem scientie anguli orientalis qui est inter caput Tauri et horizontem. Et describemus propter hoc circulum meridiei, supra quem sint A, B, G, D, et medietatem circuli huius horizontis orientalem, supra quam sint B, E, D, et medietatem circuli orbis signorum, supra quam sint A, E, G, et sit punctum E caput Tauri. Et quia in hoc climate, quando elevatur caput Tauri, erunt in medio celi sub terra 17 partes et 41 minuta Cancri et iam declaravimus quomodo hec facilius assumantur per ea que narravimus ex elevationibus, erit ergo arcus EG minor quarta circuli. Describam autem supra polum E secundum longitudinem lateris quadrati portionem orbis maioris, supra quam sint T, H, R, et complebo duas quartas EGH et EDT, et erit unusquisque duorum arcuum RGD et RHT quarta circuli, eo quod horizon BET est descriptus supra polum RGD orbis meridiei et supra polum RHT, que est orbis magni, et etiam quia partium Cancri 17 et 41 minutorum longitudo ab equatione diei ad partem septentrionalem in orbe magno descripto supra duos polos equationis diei est 22 partes et 40 minuta fere (hoc namque ex eis est que iam affirmavimus etiam) et longitudo equationis diei a polo horizontis, qui est punctum R, in illo arcu, qui est RGD, est 36 partes. Colligitur ergo ut sit arcus RG 58 partes et 40 minuta. Et postquam iam scivisti hec, erit propter hanc formam proportio chorde dupli arcus GD ad chordam dupli arcus DR aggregata ex duabus proportionibus, ex proportione chorde dupli arcus GE ad chordam dupli arcus EH et ex proportione chorde dupli arcus HT ad chordam dupli arcus TR. Et propter hunc modum positum erit duplum arcus GD 62 partes et 40 minuta, et chorda eius 62 partes et 24 minuta, et duplum arcus DR 180 partes, et eius chorda 120 partes, et etiam duplum arcus GE 155 partes et 22 minuta, et chorda eius 117 partes et 14 minuta, et duplum arcus EH 180 partes, et chorda eius 120 partes. Cum ergo nos proiece