rimus ex proportione 62 partium et 24 minutorum ad 120 partes proportionem 117 partium et 14 minutorum ad 120 partes, remanebit proportio chorde dupli arcus TH ad chordam dupli arcus TR, que est proportio 63 partium et 52 minutorum ad 120 partes. Chorda autem dupli arcus TR est 120 partes. Ergo chorda dupli arcus HT secundum illam quantitatem erit 63 partes et 52 minuta. Quapropter erit duplum arcus HT 64 partes et 20 minuta, et erit unusquisque duorum, scilicet arcus HT et angulus HET, secundum illam quantitatem 32 partes et 10 minuta. Et illud est quod demonstrare intendimus. Ut autem non iteretur sermo et prolongetur dictio in hoc libro, secundum similitudinem huiusmodi inquiratur inventio scientie in signis 12 etiam in reliquis climatibus.

⟨II.12⟩ Capitulum duodecimum: De scientia angulorum provenientium inter orbem signorum et orbem descriptum supra duos polos horizontis

Postquam iam restat ut sciamus qualiter oporteat esse acceptionem inventionis scientie angulorum qui sunt ex orbe signorum et orbe descripto supra duos polos horizontis in omni declinatione et in omni loco, ex quorum scientia sciemus in hora omni, quemadmodum prediximus, quantitatem arcus qui est orbis descripti supra duos polos horizontis inter punctum quod est supra summitatem capitum et punctum quod est sectionis que est orbis signorum et orbis descripti supra duos polos horizontis, tunc ponam etiam que ponenda sunt in hac parte huius scientie. Et demonstrabo prius quod puncta orbis signorum que sunt equalis longitudinis a puncto tropico quorum temporum elevationes sunt equales ab utrisque lateribus orbis meridiei, quorum unum est ad orientem et alterum ad occidentem, faciunt etiam arcus qui sunt a puncto summitatis capitum ad illa puncta orbium magnorum equales adinvicem. Angulorum quoque qui sunt apud ea erunt omnes duo equales duobus angulis rectis secundum modum quem prediximus. Describam itaque portionem orbis meridiei, supra quam sint A, B, G, sitque punctum eius B supra summitatem capitum, et punctum eius G sit polus equationis diei, et describam duas portiones orbis signorum, supra quas sint A, D, E et A, R, H, et sint punctum D et punctum R equalis longitudinis a duobus punctis tropici, et sint duo arcus qui secantur ex linea equidistanti ab utroque latere orbis meridiei equales, et describam etiam duos arcus orbium magnorum super unumquodque duorum punctorum D et R, scilicet a puncto G, quod est polus equationis diei, duos arcus GD et GR, et a puncto B, quod est punctum summitatis capitum, duos arcus BD et BR. Dico ergo quod arcus BD equatur arcui BR et angulus BDE cum angulo BRA equantur duobus angulis rectis. Et quia duorum punctorum D et R elongatio ab orbe meridiei, supra quem sunt A, B, G, est secundum duos arcus equales equidistantis supra ipsam descripte, erit angulus BGD equalis angulo BGR. Cuiusque ergo duorum triangulorum BGD et BGR duo latera unius sunt equalia duobus lateribus alterius, quodque latus suo relativo, scilicet GD equale GR, et latus BG est eis commune, et duo anguli qui continentur a duobus lateribus equalibus sunt equales, scilicet angulus BGD equalis angulo BGR. Ergo basis BD est equalis basi BR, et angulus BRG equalis angulo BDG. Et quia iam ostensum fuit in his que precesserunt parumper quod duo anguli qui sunt apud orbem descriptum supra duos polos orbis equationis diei elongationis equalis a puncto tropici equantur duobus angulis rectis, tunc duo anguli simul qui sunt ex GDE et GRA equantur duobus angulis rectis. Iam vero ostensum fuit quod angulus BDG equatur angulo BRG. Igitur summa duorum angulorum BDE et BRA equantur duobus angulis rectis. Et hoc est quod oportuit nos declarare.

Ostendam quoque quod cum elongatio unius puncti orbis signorum ab orbe meridiei ab utrisque lateribus eius fuerit secundum tempora equalia, tunc arcus orbium magnorum qui producuntur a puncto summitatis capitum ad illud punctum erunt equales, et erunt duo anguli simul qui erunt apud duo puncta ad orientem et occidentem equales duplo anguli qui est apud punctum unum orbis meridie cum fuerit unumquodque duorum punctorum mediantium celum orbis signorum aut ad partem meridianam a puncto summitatis capitum aut ad partem septentrionalem ab eo. Sit ergo prius ad partem meridianam. Describam autem portionem orbis meridiei, supra quam sint A, B, G, D, summitasque capitum eius sit punctum G, et polus equationis diei sit punctum D, et describam duas portiones orbis signorum, supra quas sint A, E, R et B, H, T, et sit longitudo puncti E et puncti H ab orbis meridiei utrisque partibus secundum duos arcus equales linee equidistantis equationi diei. Describam etiam super hec duo puncta portiones orbium magnorum, scilicet super G GE et GH et super D DE et DH. Propter ea ergo que iam declarata sunt, quoniam super duo puncta E et H est descripta linea equidistans una, erunt duo arcus eius a duobus lateribus orbis meridiei equales, et erunt duo trianguli equalium laterum et angulorum equalium, scilicet triangulus GDE et triangulus GDH, et erit GE equale GH. Et dico quod duo anguli simul qui sunt ex GER et GHB equantur duplo anguli DER. Angulus namque DER est equalis angulo DHB. Sed angulus GED equa