Postquam remansit iam de complemento eorum que narrabimus de hac scientia in hac dictione scientia angulorum provenientium in linea orbis signorum, premittam iam propositum. Nos nominamus angulum quem continent due portiones duorum orbium maiorum rectum cum est punctus sectionis eorum communis eis polus et describitur super ipsum circulus secundum, quodcunque spacium fuerit, et est arcus eius quem comprehendunt due portiones continentes angulum quarta circuli descripti. Et universaliter dico quod proportio huius arcus ad circulum suum ex quo ipse est secundum modum quem prediximus est sicut proportio anguli quem continet declinatio duarum superficierum duorum orbium ad quattuor angulos rectos. Et quia posuimus circulum 360 partes, erit quantitas partium arcus ad circulum suum sicut quantitas anguli cui ipse subtenditur ad quattuor angulos rectos secundum quantitatem qua est angulus rectus 90 partes. Angulorum autem qui proveniunt propter sectionem orbis declivis maior eorum necessitas et maior utilitas in hac scientia est scientia angulorum qui fiunt ex sectione orbis declivis et orbis meridiei et sectione orbis declivis et orbis horizontis in omni loco, et similiter qui sunt ex sectione orbis declivis et orbis maioris descripti super duos polos horizontis. Et cum scientia horum angulorum iam sciemus orbis huius arcus quos terminat locus sectionis et polus horizontis, qui est supra summitatem capitum. Cum enim declarata fuerit scientia cuiusque horum que prediximus, erit locus eius in hac scientia magnus. Et in eo in quo est eius necessitas ad sciendum diversitatem que est inter locum Lune secundum considerationem et visum et locum eius verum est necessitas horum angulorum et eorum scientia magna. Scire tamen ea non est possibile ante premissionem scientie angulorum. Et quia anguli qui fiunt ex sectione duorum orbium, orbis signorum et unius eorum qui ipsum secant, sunt quattuor et volumus ut sit sermo super unum, tunc ostendam quod nolumus nisi unum angulorum duorum qui sequuntur arcum orbis signorum apud locum sectionis, scilicet septentrionalem sequentem ex eis, ut sit quantitas quam declarare volumus huius et quod accidit in eo manifesta. Et quoniam declaratio angulorum provenientium ex sectione orbis declivis et orbis meridiei est levior et ad sumendum vicinior, tunc ab ea incipiemus. Et ostendemus prius quod puncta orbis signorum que sunt equalis intervalli ab orbe equationis diei faciunt hos angulos ad invicem equales. Et huius exemplum ponemus: Describam arcum orbis equationis diei, supra quem sint A, B, G, et arcum orbis signorum, supra quem sint D, B, E, et polum equationis diei punctum R, et sint duo arcus equales supra quos sint B, H et B, T a duabus partibus puncti B equationis diei, et describam duos arcus orbis meridiei supra polum R et supra duo puncta H et T, supra quos sint R, K, H et R, T, L. Dico ergo quod angulus KHB equalis est angulo RTE, quoniam enim triangulus BHK est equalium angulorum cum triangulo BTL eo quod latera eorum sunt equalia, unumquodque latus et eius relativum, HB equale BT, et HK equale TL, et BK equale BL. Et iam declaratum est hoc totum in his que precesserunt. Ergo angulus KHB equatur angulo BTL, qui est equalis angulo RTE. Et illud est quod oportuit nos demonstrare.

Ostendam etiam quod cum fuerint duo puncta orbis signorum equalis longitudinis a puncto tropici, duo anguli qui sunt apud orbem meridiei ambo equantur duobus angulis rectis. Et ob hoc describam arcum orbis signorum, supra quem sint A, B, G, et sit punctum B punctum tropici, et describam duos arcus elongationis equalis a puncto tropici, supra quos sint B, D et B, E, et describam super duo puncta D et E et super R, quod est polus equationis diei, duos arcus orbis meridiei, supra quos sint R, D et R, E. Dico ergo quod angulus RDB et angulus REG simul equantur duobus angulis rectis. Huius autem ostensio est quoniam duo puncta D et E sunt equalis elongationis a puncto tropici. Propter hoc erit arcus DR equalis arcui RE. Ergo angulus RDB equalis est angulo REB. Angulus autem REB et angulus REG equantur duobus angulis rectis. Ergo angulus RDB cum angulo REG equantur duobus angulis rectis. Et illud est quod oportuit nos declarare.

Et post scientiam eorum que premisimus describam circulum orbis meridiei, supra quem sint A, B, G, D, et medietatem circuli orbis signorum, supra quam sint A, E, G, et sit punctum ipsum A tropicum hiemale, et describam supra polum A secundum spacium lateris quadrati medietatem circuli, supra quam sint B, E, D. Et quia orbis meridiei, qui est ABGD, est descriptus supra duos polos AEG et BED, erit arcus ED quarta circuli. Angulus ergo DAE erit rectus. Et propter hoc etiam cuius iam precessit declaratio erit etiam angulus qui est apud tropicum estivum rectus. Et illud est quod oportuit nos declarare.

Describam etiam circulum orbis meridiei, supra quem sint A, B, G, D, et medietatem circuli equationis diei, supra quam sint A, E, G, et describam medietatem circuli orbis signorum, supra quam sint A, R, G, et sit punctum A ipsum punctum equationis diei autumnale, et describam supra polum A secundum spacium lateris quadrati semicirculum