ne diei est partes iste currit Sol semel in anno, cum est in puncto tropici estivalis. Sed supra summitatem capitum inhabitantium loca que sunt sub lineis equidistantibus equationi diei quorum longitudo ab ea minor est his partibus Sol bis in anno currit. Quando vero illud erit quo levius invenitur a nobis, est ut intremus numerum partium longitudinis linee ab equatione diei equidistantis ei in linea secunda tabule declinationis et consideremus quod est coram ea consequenter in linea prima ex numero partium quarte. Cum enim Solis longitudo ab unoquoque duorum punctorum equantium diem ad partem tropici estivalis fuerit equalis illis partibus in longitudine, tunc Sol curret supra summitatem capitum eorum qui sunt sub illa linea.
⟨II.5⟩ Capitulum quintum: Qualiter sciantur proportiones instrumentorum ad umbras suas in equalitate diei et in duobus tropicis in medietatibus dierum per quedam predicta, cum fuerint data
Facilius quoque quo sciuntur proportiones umbre ad instrumenta, postquam iam scivimus quantitatem arcus qui est inter duos tropicos et arcus qui est inter horizontem et inter duos polos, est quemadmodum narrabo. Describam orbem meridiei, supra quem sint A, B, G, D, supra centrum E, et ponam punctum quod est supra summitatem capitum A, et protraham diametrum AEG, et producam AG in superficie orbis meridiei lineam ortogonaliter, supra quam sint G, K, R, N. Manifestum est igitur quod hec linea equidistat linee que transit supra duo puncta supra que se secant orbis meridiei et circulus horizon. Et quoniam quantitas totius terre apud quantitatem orbis Solis est sicut punctum et centrum secundum sensum, ponam centrum E caput instrumenti, et imaginabor instrumentum lineam GE, sitque linea GKRN supra quam cadit extremitas umbre in medietatibus dierum, et sit radius Solis in die breviori et in die longiore et in die equali transiens supra punctum E, et sit radius Solis in die equali linea BEDR, et radius eius in die longiore linea HETK, et radius eius in die breviori linea LEMN, sitque linea GK umbra diei longioris, et linea GR umbra diei equalis, et linea GN umbra diei brevioris. Et quia arcus GD equatur altitudini poli septentrionalis ab horizonte in hoc climate, que est 36 partes secundum quantitatem qua circulus est 360 partes, et unusquisque duorum arcuum TD et DM est secundum illam quantitatem 23 partes et 51 minuta et 20 secunda, ergo manifestum est quod arcus GT residuus est 12 partes et 8 minuta et 40 secunda. Sed totus arcus GM secundum illam quantitatem est 59 partes et 51 minuta et 20 secunda. Quapropter erunt anguli qui sunt sub eis secundum quantitatem qua quattuor anguli recti sunt 360 partes. Ita scilicet erit angulus KEG 12 partes et 8 minuta et 40 secunda, et angulus REG 36 partes, et angulus NEG 59 partes et 51 minuta et 20 secunda. Secundum quantitatem vero qua duo anguli recti sunt 360 partes erit angulus KEG 24 partes et 17 minuta et 20 secunda, et angulus REG secundum illam quantitatem 72 partes, et angulus NEG 119 partes et 42 minuta et 40 secunda. Arcus ergo qui sunt portiones circuli descripti supra tres angulos supra quos sunt KEG et REG et NEG ortogonios erunt sic: videlicet erit arcus qui est supra lineam GK 24 partes et 17 minuta et 20 secunda, et ille qui est supra lineam EG, qui est id quod minuitur ex semicirculo, erit secundum quantitatem illam 155 partes et 42 minuta et 40 secunda, et ille qui est supra lineam GR erit 72 partes, et ille qui est supra lineam GE erit secundum illam quantitatem 108 partes, et ille qui est supra lineam GN erit 119 partes et 42 minuta et 40 secunda, et ille qui est supra GE, qui est id quod minus est etiam ex semicirculo, 60 partes et 17 minuta et 20 secunda. Secundum quantitatem ergo qua GK erit 25 partes et 14 minuta et 43 secunda erit GE 117 partes et 18 minuta et 51 secunda. Et secundum quantitatem qua etiam GR erit 70 partes et 32 minuta et 3 secunda erit GE 97 partes et 4 minuta et 55 secunda. Et secundum illam quantitatem qua est GN 103 partes et 46 minuta et 16 secunda erit GE 60 partes et 15 minuta et 42 secunda. Secundum illam ergo quantitatem qua instrumentum GE erit 60 partes erit umbra GK estivalis 12 partes et 55 minuta. Et erit umbra GR, que est diei equalis, 43 partes et 36 minuta fere. Et erit umbra GN hiemalis 103 partes et 20 minuta propinquius. Quapropter secundum conversionem declarabitur nobis quod cum due trium proportionum instrumenti GE ad umbras suas fuerint scite, quecunque due fuerint, scientur per illud altitudo poli et quod est inter duos tropicos. Quoniam cum sciti fuerint duo trium angulorum, quicunque duo fuerint, scietur reliquus angulus, propter hoc quod duo arcus TD et DM sunt equales. Verum acceptio inventionis vere secundum considerationem ad sciendum duos arcus, in qua non est dubitatio, est secundum modum quem premisimus. Scire autem illud propter proportiones instrumentorum ad umbras suas non est ita certum, eo quod tempus umbre equalitatis in se non est discretum et extremitates capitum umbrarum hiemalium in ea difficulter comprehenduntur.