كان معلوما فإنّ وتر ثلثها غير موجود بالحقيقة من حساب المساحة والتقدير ❊ فلنحاول وجود وتر جزء واحد من وتر قوس جزء ونصف ومن وتر قوس نصف وربع جزء ونضع لذلك بابا وإن لم يكن محيطا بحقيقة أقدار جميع الأوتار فإنّه يمكن أن يوجد به أقدار أوتار صغار القسيّ حتّى لا يغادر من الحقيقة ما حسّ قدره ونقدّم لذلك ونقول إنّا إن خططنا في دائرة وترين مختلفين كانت نسبة الوتر الأطول إلى الوتر الأقصر أصغر من نسبة قوس الوتر الأطول إلى قوس الوتر الأقصر ونخطّ لذلك دائرة عليها ابجد فيها وتران مختلفان أقصرهما اب وأطولهما بج فأقول إنّ نسبة وتر بج إلى وتر با أصغر من نسبة قوس بج إلى قوس با برهانه أن نقسم زاوية ابج بنصفين بخطّ بد ونخرج خطوط اهد واد وجد ولأنّ زاوية ابج قسمت بنصفين بخطّ بهد يكون خطّ جد مثل خطّ اد وخطّ جه أطول من خطّ ها ونخرج من د إلى خطّ اهج عمود دز ولأنّ خطّ اد أطول من هد وخطّ هد أطول من دز تكون الدائرة المخطوطة على مركز د وببعد ده تقطع اد وتجوز دز فنرسم عليها حهط ونخرج دز إلى ط فلأنّ قطاع دهط أعظم من مثلّث دهز ومثلّث دها أعظم من قطاع دهح تكون نسبة مثلّث دهز إلى مثلّث دها أصغر من نسبة قطاع دهط إلى قطاع دهح ونسبة مثلّث دهز إلى مثلّث دها كنسبة خطّ هز إلى ها فنسبة قطاع دهط إلى قطاع دهح كنسبة زاوية زده إلى زاوية هدا فنسبة خطّ زه إلى ها أصغر من نسبة زاوية زده إلى زاوية اده وإذا ركّبنا فنسبة خطّ زا إلى خطّ ها أصغر من نسبة زاوية زدا إلى زاوية اده وتكون نسبة ضعف از وهو جا إلى اه أصغر من نسبة زاوية جدا إلى زاوية اده وإذا فصّلنا تكون نسبة خطّ جه إلى اه BL 12أصغر من نسبة زاوية جده إلى زاوية هدا ونسبة خطّ جه إلى ها كنسبة وتر جب إلى وتر با ونسبة زاوية جدب إلى زاوية بدا كنسبة قوس جب إلى قوس با فنسبة وتر جب إلى وتر با أصغر من نسبة قوس جب إلى قوس با ومن بعد [بعد] إثباتنا هذا الشكل المقدّمة نخطّ دائرة عليها ابج وفيها وتران اب اج ونجعل اب أوّلا يوتّر من الدائرة قوس نصف وربع جزء واج يوتّر قوس جزء واحد ولأنّ نسبة وتر اج إلى وتر اب أصغر من نسبة قوس اج إلى قوس اب وقوس اج مثل وثلث قوس اب فلأنّه قد استبان أنّ وتر اب صفر وسبع وأربعون دقيقة وثماني ثوان بالمقدار الذي القطر به مائة وعشرون يكون وتر جا أقلّ من جزء ودقيقتين وخمسين ثانية بذلك المقدار فإنّ هذا قريب من مثل وثلث السبع والأربعين الدقيقة والثماني الثواني وأيضا في هذه الدائرة نجعل وتر اب يوتّر قوس جزء واحد ووتر اج يوتّر قوس جزء ونصف فعلى مثل ما وصفنا لأنّ قوس اج مثل ونصف قوس اب يكون وتر جا أقلّ من مثل ونصف وتر اب وقد بيّنّا أنّ وتر اج جزء وأربع وثلاثون دقيقة وخمس عشرة ثانية بالمقدار الذي به القطر مائة وعشرون فوتر اب أكثر من جزء ودقيقتين وخمسين ثانية بذلك المقدار فإنّ الجزء والأربع والثلاثين الدقيقة والخمس عشرة ثانية هي مثل ونصف للجزء والدقيقتين والخمسين الثانية ❊ فإذا كان وتر الجزء الواحد من القوس مرّة أقلّ ومرّة أكثر من شيء واحد فبيّن هو أنّه ينبغي لنا أن نتّخذ وتر الجزء الواحد من القوس جزء واحدا من الوتر ودقيقتين وخمسين ثانية بالمقدار الذي [القطاـلقطر] ⟨القطر⟩ به مائة وعشرون ولمّا قد استبان بما ذكرنا يكون وتر قوس نصف جزء قريبا من صفر