وبنقطتي حاء، طاء، /H148/ ولتكونا قوسي زاي كاف حاء، زاي طاء لام. أقول إنّ زاوية كاف حاء باء مساوية لزاوية زاي طاء هاء وهذا بيّن من قرب. وذلك أنّ مثلّث باء حاء كاف يصير متساوي /T106/ الزوايا لمثلّث باء طاء لام من قبل أنّ أضلاعه الثلاثة أيضاً متساوية لأضلاعه الثلاثة كلّ واحد لنظيره. أمّا ضلع حاء باء فمساو لضلع باء طاء، وأمّا ضلع حاء كاف فلضلع طاء لام، وأمّا ضلع باء كاف فلضلع باء لام. وذلك كلّه قد تبيّن فيما مضى؛ فزاوية كاف حاء باء إذا مساوية لزاوية باء طاء لام وذلك هو مساواتها لزاوية زاي طاء هاء.

وأيضاً فقد ينبغي أن نبيّن أنّ كلّ نقطتي من دائرة البروج بعدهما عن نقطة واحدة بعينها من نقطتي الانقلابين بعداً سواء. فإنّ الزاويتين اللتين تحدثان عندهما لدائرة البروج مع دائرة نصف النهار مجموعتين مساويتان لزاويتين قائمتين.

ي: فلتكن قوس من دائرة البروج ألف باء جيم وننزّل أنّ نقطة باء أحد الانقلابين ونفرز عن جنبتيه قوسان متساويتان ولتكونا باء دال، باء هاء. ولنرسم قوسان من دوائر نصف النهار تجوزان على نقطة دال ونقطة هاء وعلى نقطة زاي، /H149/ وهي قطب معدّل النهار، ولتكونا قوسي زاي دال، زاي هاء. أقول أنّ زاوية زاي دال باء وزاوية زاي هاء جيم مجموعتين مساويتان لزاويتين قائمتين. وهذا أيضاً بيّن من قرب من قبل أنّ نقطتي دال، هاء بعدهما من نقطة واحدة بعينها من نقطتي الانقلابين بعداً سواء. فقوس زاي دال أيضاً مساوية لقوس زاي هاء فزاوية زاي دال باء إذا مساوية لزاوية زاي هاء باء لكن زاويتي زاي هاء باء، زاي هاء جيم مساويتان لزاويتين قائمتين. فزاوية زاي دال باء إذن مع زاوية زاي هاء جيم مساويتان أيضاً لزاويتين قائمتين. وذلك ما كان ينبغي أن نبيّنه.

يا: فإذ قد تقدّم العلم بذلك فلتكن دائرة نصف النهار ألف باء جيم دال ونصف دائرة البروج ألف هاء جيم على أنّ نقطة ألف توضع الانقلاب الشتويّ ولنرسم بقطب ألف وببعد ضلع المربّع نصف دائرة باء هاء دال. فمن قبل أنّ دائرة نصف النهار ألف باء جيم دال قد مرّت بقطبي نصف دائرة ألف هاء جيم وبقطبي نصف دائرة باء هاء دال فإنّ قوس هاء دال ربع دائرة. /T107/ فزاوية دال ألف هاء إذن قائمة والزاوية أيضاً التي تحدث عن الانقلاب الصيفيّ لما تقدّم بيانه قائمة.

/H150/ يب: وأيضاً فلتكن دائرة نصف النهار ألف باء جيم دال، ونصف دائرة معدّل النهار ألف هاء جيم ولنرسم نصف دائرة البروج ألف زاي جيم على أنّ نقطة آ تكون نقطة الاستواء الخريفيّ. ولنرسم بقطب ألف وببعد ضلع المربّع ه: بلغ العرض بالأمّ والحمد لله على عونه.