من الدائرة التي تمرّ بقطبي الأفق بين النقطة التي على سمت الرأس وبين الفصل بين هذه الدائرة وبين الدائرة المائلة. فنحن واصفون ما يحتاج أن يتقدّم فيعلم في هذا الفن ومبيّنون أوّلاً إن كلّ نقطتين من دائرة البروج يكون بعدهما عن انقلاب واحد بعينه بعداً سواء ويكون الزمانان اللذان يفرزانهما عن جنبتي دائرة نصف النهار، أحدهما ممّا يلي المشرق والآخر ممّا يلي المغرب متساويتين، فإنّ القوسين من الدائرتين العظيمتين اللتين بين النقطة التي على سمت الرأس وبينهما متساويتان وإنّ الزاويتين أيضاً اللتين تحدثان عندهما على الجهة التي لخّصناها مساويتان لزاويتين قائمتين.

يح: فلتكن من دائرة نصف النهار قطعة ألف باء جيم، ولنتعلّم عليها النقطة التي على سمت الرأس وليكن باء، وقطب معدّل النهار وليكن جيم. شطب الكاتب دال ولنرسم من دائرة البروج /H161/ قطعتا ألف دال هاء، ألف زاي حاء على أن يكون نقطتا دال، زاي بعدهما من انقلاب واحد بعينه بعداً سواء ويكونا يفرزان قوسين مساويتين من الدائرة الموازية التي تمرّ بهما عن جنبتي دائرة نصف النهار وهي ألف باء جيم. ولنرسم قسيّ من أعظم الدوائر تمرّ بنقطتي دال، زاي منها قوسان تمرّان بقطب معدّل النهار، وهو جيم، شطب الكاتب دال وليكونا قوسي جيم دال، جيم زاي ومنها قوسان تمرّان بنقطة باء، وهي التي على سمت الرأس، وليكونا قوسي باء دال، باء زاي. أقول إنّ قوس باء دال مساوية لقوس باء زاي، وإنّ زاوية باء دال هاء مع زاوية باء زاي ألف مساويتان لزاويتين قائمتين. فلأنّ نقطتي دال، زاي بعدهما في الدائرة الموازية التي تمرّ بهما عن جنبتي دائرة ألف باء جيم التي هي دائرة نصف النهار بقوسين متساويتين، فزاوية باء جيم دال مساوية لزاوية باء جيم زاي. /T115/ فمثلّثا باء جيم دال، باء جيم زاي قد ساوى ضلعان من أحدهما ضلعين من الآخر كلّ واحد لنظيره، أمّا ضلع جيم دال فلضلع جيم زاي، وأمّا ضلع باء جيم فمشترك بينهما، وساوت الزاوية التي يحيط بها الضلعان الزاوية التي يحيط بها الضلعان المساويان لهما أعني زاوية باء جيم دال لزاوية باء جيم زاي، فقاعدة باء دال إذاً تصير مساوية لقاعدة باء زاي /H162/ وزاوية باء دال جيم تساوي زاوية باء زاي دال. ه – صح: جيم

لكن لما كان قد تبيّن أنّ كلّ قوسين بعدهما من انقلاب واحد بعينه بعد سواء فإنّ الزاويتين اللتين تحدثان بينهما وبين الدائرة التي تمرّ بقطبي معدّل النهار مجموعتين مساويتان لزاويتين قائمتين، وجب أن يكون زاويتا جيم دال هاء، جيم زاي ألف معادلتين لقائمتين. وقد نبيّن أنّ زاوية باء دال جيم مساوية لزاوية باء زاي جيم فزاويتا باء دال هاء، باء زاي ألف إذن معادلتان لزاويتين قائمتين. وذلك ما كان ينبغي أن نبيّن.

وأيضاً قد ينبغي أن نبيّن أنّ كلّ نقطتين هما نقطة واحدة بعينها من دائرة البروج ويكون بعدها عن جنبتي دائرة نصف النهار بعداً سواء، فإنّ القوسين من أعظم الدوائر اللتين ترسمان من النقطة التي على سمت الرأس إليهما متساويتان وإنّ الزاويتين اللتين تحدثان عندهما مجموعتين أعني التي تلي المشرق والتي تلي المغرب مساويتان للزاوية التي تحدث عن دائرة نصف النهار عند تلك النقطة الواحدة بعينها مرّتين متى اتّفق في كلّ واحد من الموضعين أن يكون النقطتان المتوسّطتان للسماء إمّا جميعاً أميل إلى الشمال وإمّا جميعاً أميل إلى الجنوب عن النقطة التي على سمت الرأس.

ولننزّل أوّلاً أنّهما جميعاً أميل إلى الجنوب.