وتر قوس اثني عشر جزءاً من التفاضل المعطى بين الأوتار المعطاة بذاتها /H39/ إذ كنّا عالمين بوتر قوس ستّين جزءاً ووتر قوس اثنين وسبعين جزءاً. وأن نرسم أيضاً أوتاراً آخر كثيرة غيره. /T52/ وأيضاً فليكن عرضنا إذا كان في دائرة خطّ مستقيم معطى أن نجد الخطّ الذي يوتّر نصف القوس التي يوتّرها ذلك الخط.

د: فليكن نصف الدائرة ألف باء جيم على قطر ألف جيم وخطّ باء جيم معطى. ونقسّم قوس باء جيم بنصفين على نقطة دال وليوصل خطوط ألف باء، ألف دال، باء دال، دال جيم، ولنخرج من نقطة دال إلى خطّ ألف جيم عمود دال زاي.

أقول إنّ خطّ زاي جيم شطب الكاتب دال هو نصف الفضل بين خطّ ألف باء وبين خطّ ألف جيم. فلنجعل خطّ ألف هاء مساوياً لخطّ ألف باء وليوصل في الأصل: ولنوصل خطّ دال هاء. فلأنّ خطّ ألف باء مساو لخطّ ألف هاء وخطّ ألف دال مشترك، فخطّا ألف باء، ألف دال مساويان لخطّي ألف هاء، ألف دال. وزاوية باء ألف دال مساوية لزاوية هاء ألف دال. فقاعدة باء دال مثل قاعدة ده. لكن خطّ باء دال مثل خطّ دال جيم، فخطّ دال جيم إذن مساو لخطّ دال هاء.

فلأنّ مثلّث دال هاء جيم متساوي الساقين وقد أخرج من رأسه إلى قاعدته عمود د ز، /H40/ فخطّ ه ز مساو لخطّ زاي جيم. شطب الكاتب دال لكن خطّ هاء جيم كلّه هو الفضل بين خطّ ألف باء وبين خطّ ألف جيم. فخطّ ز ج إذن نصف الفضل بين هذين الخطّين.

فلأنّ الخطّ الذي يوتّر قوس باء جيم لمّا كان معطى، كان وتر باقي نصف الدائرة وهو خطّ ألف باء معطى. فخطّ ز ج معطى إذ كان نصف الفضل بين خطّي ألف دال، ه – صح: جيم ألف باء. لكن لمّا كان مثلّث ألف جيم دال القائم الزاوية، قد أخرج فيه عمود دال زاي، فإنّ مثلّث ألف جيم دال القائم الزاوية مساوي الزوايا لمثلّث دال زاي جيم. فتكون نسبة خطّ ألف دال ه – صح: جيم إلى خطّ جيم دال كنسبة خطّ جيم دال إلى خطّ جيم زاي. فالسطح إذا القائم الزوايا الذي يحيط به خطّا ألف جيم، جيم زاي مساو لمربّع خطّ جيم دال. /T53/ فيكون خطّ جيم دال في الطول معطى وهو الذي يوتّر نصف قوس ب ج وذلك ما كان ينبغي أن نبيّنه.

وبهذا الباب أيضاً نستخرج من الخطّ الذي يوتّر اثني عشر جزءاً، الخطّ الذي يوتّر ستّة أجزاء، والخطّ الذي يوتّر ثلاثة أجزاء، والخطّ الذي يوتّر جزءاً ونصفاً، والخطّ الذي يوتّر نصفاً وربع جزء، ونستخرج أيضاً خطوطاً آخر كثيرة جدّاً. فلنصف ذلك إلى القسيّ التي تقدّم العلم بها ونجد بهذا القياس أنّ وتر /H41/ جزء ونصف جزء يكون جزءاً وأربعاً وثلاثين دقيقة وخمس عشرة ثانية بالتقريب بالأجزاء التي بها القطر مائة وعشرون جزءاً ووتر نصف وربع جزء يكون سبعاً وأربعين دقيقة وثمان ثواني بتلك الأجزاء.

ه: ولتكن أيضاً دائرة ألف باء جيم دال حول قطر ألف دال وعلى نقطة زاي ولنفصل قوسان معطاتان متتاليتان من نقطة ألف ولتكونا قوسي ألف باء، باء جيم. وليوصل خطّا ألف باء، باء جيم يوتّران هاتين القوسين وليكونا أيضاً معطيين.

أقول إنّا أن وصلنا خطّ ألف جيم، كان هذا الخطّ أيضاً معطى.

فلنخرج من