نقطة باء قطر الدائرة وليكن باء زاي هاء، ولتوصل خطوط باء دال، جيم دال، جيم هاء، دال هاء. فمن البيّن أنّ بسبب خطّ باء جيم يكون خطّ جيم هاء أيضاً معطى، وبسبب خطّ ألف باء يكون خطّا باء دال، دال هاء معطيين. وبسبب ما تقدّم، لأنّ في دائرة ذا أربعة أضلاع باء جيم دال هاء، وقد أخرج فيه خطّا باء دال، جيم هاء؛ فالسطح القائم الزوايا الذي يحيط به الخطّان المخرجان فيه مساو لمجموع السطحين اللذين يحيط بهما الأضلاع المتقابلة من ذوي ه – اخ: ذي الأربعة الأضلاع. فلأنّ السطح الذي يحيط به خطّا باء دال، جيم هاء معطى يكون السطح الذي يحيط به خطّا باء جيم، دال هاء مع السطح الذي يحيط به خطّا جيم دال، باء هاء معطى. والسطح الذي يحيط به خطّا باء جيم، دال هاء معطى /H42/ وقطر به معطى يكون خطّ جيم دال الباقي معطى. فلذلك يكون أيضاً الخطّ الذي يوتّر القوس الباقية من نصف الدائرة وهو خطّ ألف جيم معطى. وذلك ما كان ينبغي أن نبيّنه.

فيجب عن هذا الشكل أنّه إذا كانت قوسان معطاتان معطاتا الوترين يكون الخطّ الذي يوتّر القوسين جميعاً على التركيب معطى.

فمن البيّن أنّا إذا ركّبنا مع الأوتار المعلومة كلّها وتر جزء ونصف وحسبنا الأوتار التي تصل، فإنّا ه – اخ: فإنّا نرسم ترسم بالجملة كلّ قوس إذا أضعفت /T54/ كان لها ثلث. وتبقى علينا بعد ذلك القسيّ التي بين الأبعاد المتفاضلات بجزء ونصف، وهي في كلّ بعد قوسان، وذلك من قبل أنّ الرسم أنّما نعمله على زيادة نصف جزء نصف جزء. فيجب من ذلك أن يكون إن وجدنا وتر نصف جزء، فإنّه يتمّ لنا به بالتركيب وبالتفاضل الذين بين الخطوط المستقيمة المعطاة المحيطة بالأبعاد معرفة جميع الخطوط المستقيمة الباقية التي فيما بين ذلك أيضاً. لكن لما كنّا إذا أعطينا وتراً ما، كوتر جزء ونصف مثلاً، فإنّ وتر ثلث تلك القوس ليس بمعطى بطريق الخطوط على وجه من الوجوه. ولو قدرنا على ذلك لكنّا سنجد به أيضاً وتر نصف جزء. /H43/ فإنّا نحتال أوّلاً في وجود وتر جزء من قبل وتر جزء ونصف ومن قبل وتر نصف وربع ه: جزء بأن يتقدّم، فنوطّي له شيئاً، وإن كان لا يمكن به تحصيل مقادير هذه الخطوط على الأمر الكلّي، فقد يمكن لنا أن نبلغ به من التدقيق فيها إلى ما ليس بينه وبين المقادير المحصّلة اختلاف.

فأقول إنّا إذا أخرجنا في دائرة خطّين مستقيمين غير متساويين، كانت نسبة الأطول منهما إلى الأقصر أصغر من نسبة القوس التي على الأطول إلى القوس التي على الأقصر.

و: فلتكن دائرة ألف باء جيم دال ولنخرج فيها خطّين غير متساويين، خطّ ألف باء أقصرهما وخطّ باء جيم أطولهما. أقول إنّ نسبة خطّ جيم باء إلى خطّ باء ألف أصغر من نسبة قوس جيم باء إلى قوس باء ألف. فلنقسّم زاوية ألف باء جيم بنصفين بخطّ باء دال. ولتوصل خطوط ألف هاء جيم، ألف دال، جيم دال. فلأنّ زاوية ألف باء جيم قسّمت بنصفين بخطّ باء هاء دال، فخطّ جيم دال مساو لخطّ ألف دال /H44/ وخطّ جيم هاء أطول من خطّ هاء ألف. /T55/ فلنخرج من نقطة دال إلى خطّ ألف هاء جيم عمود دال زاي. فلأنّ خطّ ألف دال أطول من خطّ هاء دال وخطّ هاء دال أطول من خطّ دال زاي، فالدائرة إذن التي ترسم على مركز دال وببعد دال هاء تقطع خطّ ألف دال وتتجاوز خطّ دال زاي. فلترسم ولتكن دائرة حاء هاء طاء ولنخرج إليها خطّ دال زاي طاء. فلأنّ قطاع دال هاء طاء أعظم من مثلّث دال هاء زاي، ومثلّث دال هاء ألف أعظم من قطاع دال حاء هاء، ه: بلغ العرض للأمّ