وسنبيّن فيما بعد الوجه الذي به نعرف من هذه الأوتار سائر الأوتار الجزئيّة بعد أن تقدّم فنوطّئ معنى عظيم المنفعة في علمنا هذا. ه: ب

فلتكن دائرة قد رسم فيها ذو أربعة أضلاع ألف باء جيم دال وليوصل خطّا ألف جيم، باء دال.

فينبغي أن نبيّن أنّ السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطّا ألف جيم، باء دال مساو للسطح الذي يحيط به خطّا ألف باء، دال جيم وللسطح الذي يحيط به خطّا ألف دال، باء جيم مجموعين. فلنجعل زاوية ألف باء هاء مساوية لزاوية دال باء جيم. فلأنّ زاوية دال باء جيم مساوية لزاوية ألف باء هاء إن نحن جعلنا زاوية هاء باء دال مشتركة، كانت أيضاً زاوية ألف باء دال مساوية لزاوية هاء باء جيم. /T51/ //H37 وزاوية باء دال ألف مساوية لزاوية باء جيم هاء، وذلك أنّهما يوتّران قوساً واحدة. فمثلّث باء دال ألف إذاً مساوي الزوايا لمثلّث باء جيم هاء. فيجب من ذلك أن تكون نسبة خطّ باء جيم إلى خطّ جيم هاء كنسبة خطّ باء دال إلى خطّ دال ألف. فالسطح إذاً الذي يحيط به خطّا باء جيم، ألف دال مساو للسطح الذي يحيط به خطّا باء دال، جيم هاء. وأيضاً لأنّ زاوية ألف باء هاء مساوية لزاوية هاء باء جيم، وزاوية باء ألف هاء مساوية لزاوية باء دال جيم، فمثلّث ألف باء هاء إذاً مساوي الزوايا لمثلّث باء جيم دال. فنسبة خطّ باء ألف إلى خطّ ألف هاء كنسبة خطّ باء دال إلى خطّ دال جيم. فالسطح إذاً الذي يحيط به خطّا باء ألف، دال جيم مساو للسطح الذي يحيط به خطّا باء دال، هاء ألف. وقد تبيّن أنّ السطح أيضاً الذي يحيط به خطّا باء جيم، دال ألف مساو للسطح الذي يحيط به خطّا باء دال، جيم هاء. والسطح إذاً بأسره الذي يحيط به خطّا ألف جيم، باء دال مساو للسطح الذي يحيط به خطّا ألف باء، دال جيم وللسطح الذي يحيط به خطّا ألف دال، جيم باء مجموعين. وذلك ما كان ينبغي أن نبيّنه.

ج: ه: وتر الفضل بين قوسين فإذ تقدّمنا فوضعنا هذا المعنى فليكن نصف دائرة /H38/ ألف باء جيم دال على قطر ألف دال ولنخرج من نقطة ألف خطّا ألف باء، ألف جيم وليكن كلّ واحد منهما معطى بالمقدار من الأجزاء التي بها القطر معطى. ه: معطا ومفروض ومعلوم وموضوع معنا{ه} واحد وليوصل خطّ باء جيم، فأقول إنّ هذا الخّط أيضاً معطى. فليوصل خطّا باء دال، جيم دال.

فمن البيّن أنّ هذين أيضاً معطيان لأنّهما وترا القوسين الباقيتين من نصف الدائرة. فلأنّ في دائرة ذا أربعة أضلاع ألف باء جيم دال، فالسطح الذي يحيط به خطّا ألف باء، جيم دال مع السطح الذي يحيط به خطّا ألف دال، باء جيم مساو للسطح الذي يحيط به خطّا ألف جيم، باء دال، والسطح الذي يحيط به خطّا ألف باء، جيم دال معطا. وأيضاً فإنّ السطح الذي يحيط به خطّا ألف باء، جيم دال معطى والقطر أيضاً معطى. فخطّ باء جيم إذن معطى. فقد بان لنا أنّا إذا أعطينا قوسين وأعطينا وتريهما، كان وتر الفضل بين القوسين معطى.

ومن البيّن أنّه قد يمكننا بهذا الباب أن نرسم